基本不等式

时间:2019/9/9 19:05:05   作者:数学名师王老师
1.了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值.
2.理解定理1和定理2(基本不等式).
3.探索并了解三个正数的算术?几何平均值不等式的证明过程.
4.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题.
知识点
  • 1.定理1

    设$a, b \in \mathbf{R}$,则$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$,当且仅当$a=b$时,等号成立.

    【做一做1】 已知$\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$,则$\sin \theta \cos \theta$的最大值为_________. 

    解析:由$a, b \in \mathbf{R}, a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$,

    得$a b \leqslant \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$,则$\sin \theta \cos \theta \leqslant \frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{2}=\frac{1}{2}$,

    当且仅当$\sin \theta=\cos \theta$,即$\theta=\frac{\pi}{4}$时等号成立.

    答案:$\frac{1}{2}$

  • 2.定理2(基本不等式或平均值不等式) 

    (1)如果$a,b$为正数,则$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$,当且仅当$a=b$时,等号成立.

    (2)称 $\frac{a+b}{2}$为正数a,b的算术平均值,$\sqrt{a b}$为正数$a,b$的几何平均值.

    (3)基本不等式可用语言叙述为:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.

    名师点拨

    (1)$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$与$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.有些同学易忽略这一点,例如:$(-1)^{2}+(-4)^{2} \geqslant 2 \times(-1) \times(-4)$成立,而$\frac{(-1)+(-4)}{2} \geq \sqrt{(-1) \times(-4)}$ 不成立.

    $(2) a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$与$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$都是带有等号的不等式.“当且仅当$a=b$时,等号成立”这句话的含义是“$a=b$”是“=”成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它,往往会导致解题错误.

    (3)由公式$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$和$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$可得到结论:①$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2(a, b$同号$ );②\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}(a, b$是正数$)$.

    (4)定理中的$a, b$可以是数字,也可以是比较复杂的代数式.

    【做一做2-1】 下列不等式中正确的是(  )

    A.若$a, b \in \mathbf{R}$,则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}=2$

    B.若x,y都是正数,则$\lg x+\lg y \geqslant 2 \sqrt{\lg x \cdot \lg y}$

    C.若$x < 0$,则$x+\frac{4}{x} \geqslant-2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}=-4$

    D.若$x \leqslant 0$,则$2^{x}+2^{-x} \geq 2 \sqrt{2^{x} \cdot 2^{-x}}=2$

    解析:对于选项A,当$a b>0$时,有$\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geqslant 2$;

    对于选项$B$,当$x>1, y>1$时,有$\lg x+\lg y \geqslant 2 \sqrt{\lg x \cdot \lg y}$

    对于选项$C$,当$x < 0$时,有$x+\frac{4}{x}=-\left(-x-\frac{4}{x}\right) \leqslant-2 \sqrt{4}=-4$.

    故可排除选项$A, B, C$,故选$D$.

    答案:$D$ 

    【做一做2-2】 若$\log _{\sqrt{2}} x+\log _{\sqrt{2}} y=4$,则$x+y$的最小值是_________. 

    解析:由题意可知$x>0, y>0, \log _{\sqrt{2}} x y=4$

    $\therefore x y=4$

    $\therefore x+y \geqslant 2 \sqrt{x y}=4$,当且仅当$x=y=2$时,等号成立.

    故$x+y$的最小值为4.

    答案:4 

  • 3.定理3(三个正数的算术?几何平均值不等式或平均值不等式)

    (1)如果a,b,c为正数,则$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c}$,当且仅当$a=b=c$时,等号成立.

    (2)称$\frac{a+b+c}{3}$为正数$a, b, c$的算术平均值,$\sqrt[3]{a b c}$为正数$a, b, c$的几何平均值.

    (3)定理3可用语言叙述为三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.

    【做一做3】 已知x,y,z是正数,且$x+y+z=6$,则$\lg x+\lg y+\lg z$的取值范围是(  )

    $\begin{array}{ll}{\text { A. }(-\infty, \lg 6]} & {\mathrm{B} \cdot(-\infty, 3 \lg 2]} \\ {\text { C. }[\lg 6,+\infty)} & {\mathrm{D} \cdot[3 \lg 2,+\infty)}\end{array}$

    解析:$\because x, y, z$是正数,

    $\therefore x y z \leqslant\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^{3}=23$

    $\therefore \lg x+\lg y+\lg z=\lg x y z \leqslant \lg 2^{3}=3 \lg 2$当且仅当$x=y=z=2$时,等号成立.

    答案:$B$

  • 4.定理4(一般形式的算术?几何平均值不等式)

    如果$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}$为n个正数,则$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$,并且当且仅当$a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$时,等号成立. 

    【做一做4】 若$a,b,c,d$是正数,则$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d}$的最小值为_________. 

    解析:由定理4可得,$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \cdot \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}} \cdot \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{d}}}=4$,

    当且仅当$a=b=c=d$时,等号成立.

    答案:4 

重难点
  • 1.三个或三个以上正数的算术?几何平均值不等式的应用条件是什么?

    剖析:“一正”:不论是三个数的平均值不等式或者n个数的平均值

    不等式,都要求是正数,否则不等式是不成立的.如$a+b+c \geqslant 3 \sqrt[3]{a b c}$.取$a=b=-2, c=2$时,$a+b+c=-2$,而$3 \sqrt[3]{a b c}=6$,显然$-2 \geqslant 6$不成立.

     “二定”:包含两类求最值问题:一是已知n个正数的和为定值(即$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$为定值),求其积$a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$的最大值;二是已知乘积$a_{1} a_{2}^{\cdots} a_{n}$为定值,求其和$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$的最小值.

    “三相等”:等号成立的条件是$a_{1}=a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{n}$,不能只是其中一部分值相等.

  • 2.如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法?

    剖析:为了使用基本不等式求最值(或范围等),往往需要对数学代数式变形或拼凑数学,有时一个数拆成两个或两个以上的数,

    这时候,拆成的数要相等,如$y=\frac{4}{x^{4}}+x 2=\frac{4}{x^{4}}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}$,其中把$x^{2}$拆成 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}$,这样可满足不等式成立的条件,若变形为$y=\frac{4}{x^{4}}+x 2=\frac{4}{x^{4}}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{3}{4} x 2$,虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”这个要求就无法满足了,这是因为等号成立的条件是$\frac{4}{x^{4}}=\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4} x 2$,显然$x$无解.

例题解析
  • 利用基本不等式比较大小

    【例1】 设$a, b \in(0,+\infty)$,试比较$\frac{a+b}{2}, \sqrt{a b}, \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}, \frac{2 a b}{a+b}$的大小,并说明理由.

    分析:解答本题应充分利用基本不等式及其变形,不等式的性质.

    反思
    基本不等式有着重要的应用,在使用时还应记住重要的变形公式.如$a,b$是正数,且$b \geqslant a$时,$a \leqslant \frac{2 a b}{a+b} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} \leqslant b$,其中$\frac{2 a b}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$为a,b的调和平均值,$\sqrt{a b}$ 为$a,b$的几何平均值,$\frac{a+b}{2}$为a,b的算术平均值,$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$ 为a,b的平方平均值.要注意公式的推导和结论的运用:调和平均值$\leqslant$几何平均值$\leqslant$算术平均值$\leqslant$平方平均值.

  • 利用基本不等式求最值

    【例2】 (1)已知x,y是正数,且$x+2 y=1$,求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值;

    (2)已知$x>0, y>0$,且$5 x+7 y=20$,求$x y$的最大值;

    (3)已知$x<\frac{5}{4}$,求$y=4 x-1+\frac{1}{4 x-5}$的最大值;

    (4)已知$a>0, b>0$,且$a 2+\frac{b^{2}}{2}=1$,求$a \sqrt{1+b^{2}}$的最大值;

    (5)已知$x$是正数,求函数$y=x\left(1-x^{2}\right)$的最大值.

    分析:根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件.

    反思

    利用基本不等式解题时要注意考察“三要素”:(1)函数中的相关项必须都是正数;(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数;(3)当且仅当各项相等时,才能取到等号,可简化为“一正二定三相等”.求函数的最值时,常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形,使其满足条件,进而求出最值.

  • 基本不等式的实际应用

    【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2017年第10届世界运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150$\%$与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.

    (1)将2017年的利润y(单位:万元)表示为促销费t(单位:万元)的函数;

    (2)该企业2017年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?

    反思

    解答不等式的实际应用问题,一般可分为如下四步.

    (1)阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用,而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向.

    (2)建立数学模型:根据(1)中的分析,把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的努力方向.

    (3)讨论不等关系:根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型,讨论与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.

    (4)得出问题结论:根据(3)中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问题的结论.

  • 易错辨析

    易错点:利用基本不等式求最值时,应注意不等式成立的条件,即变量为正实数,和或积为定值,等号成立,三者缺一不可.

    【例4】 求函数$y=1-2 x-\frac{3}{x}$的值域.

  • 真题

    1.下列函数中,最小值为2的是(  ) 

    $A \cdot y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$

    $\mathrm{B} \cdot y=\sqrt{x^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+2}}$

    $\mathrm{C} \cdot y=\sin x+\frac{1}{\cos x} x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

    $\mathrm{D} \cdot y=7^{x}+7^{-x}$

    2.已知$a>0, b>0$,且$2 a+b=4$,则$\frac{1}{a b}$的最小值为(  )

    A. $\frac{1}{4} \mathrm{B} .4$

    C. $\frac{1}{2} \mathrm{D} .2$

    3.若$a>b>0$,则$a+\frac{1}{b(a-b)}$的最小值是(  )

    A.3  B.4  C.5  D.6 

    4.周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值为_________. 

    5.若$a, b \in(0,+\infty)$,且$a+b=1$,则$a^{2}+b^{2}$的最小值为_________,$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$的最小值为_________. 

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