平均值不等式(选学)
2.理解定理的意义及作用,了解定理的推证过程.
3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题.
1.有关概念
设$a_{1,} a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个实数,则称$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$为这n个数$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$的算术平均,若$a_{1,} a_{2}, \ldots, a_{n}$为正数,则称$\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$为$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$的几何平均,$\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}$ 为$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$的调和平均.
2.定理
定理1(算术?几何平均值不等式,简称平均值不等式)
(1)定理:设$a_{1,} a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,则$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$,等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$.
(2)推论1:设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,且$a_{1} a_{2} \dots a_{n}=1$,则$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} \geq n$,且等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}=1$.
(3)推论2:设$C$为常数,且$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,则当$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=n C$时,$a_{1} a_{2} \dots a_{n} \leq C^{n}$,且等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$.
定理2
设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,则$\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}$,等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$.
定理3
(1)定理:设$a_{1,} a_{2}, \ldots, a_{n}$为正数,则 ($\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}$,等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$.
(2)推论:设$a_{1,} a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,则$\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right) \geqslant n^{2}$2.
加权平均不等式
设$a_{1,} a_{2}, \ldots, a_{n}$为正数,$p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$都是正有理数,并且$p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}=1$,那么$p_{1} a_{1}+p_{2} a_{2}+\ldots+p_{n} a_{n} \geqslant a_{1}^{p_{1}} a_{2}^{p_{2}} \ldots a_{n}^{p_{n}}$.
W.H.Young杨格不等式
设$p, q$为有理数,满足条件$1 < p < +\infty, 1 < q < +\infty, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1(p, q)$互称为共轭指标),$a, b$为正数,则 $\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q} \geqslant a b$.
【做一做1】 下列命题是假命题的是( )
A.设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个任意实数,则 $\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$,当且仅当$a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$时等号成立
B.设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为正数,则$\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right) \\ \geqslant n^{2}$
C.设$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,且$a_{1} a_{2} \ldots a_{n}=1$,则$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n} \geqslant n$,且等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}=1$
D.设C为常数,且$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$为n个正数,则当$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=n C$时,$a_{1} a_{2} \ldots a_{n} \leqslant C^{n}$,且等号成立$\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}$
答案:A
【做一做2】 已知$x, y, z \in(0,+\infty)$,且$2 x+3 y+5 z=6$,则$x y z$的最大值为_________.
解析:$\because x, y, z \in(0,+\infty), \therefore x y z=\frac{1}{30} \cdot 2 x \cdot 3 y \cdot 5 z \\ \leqslant \frac{1}{30} \cdot\left(\frac{2 x+3 y+5 z}{3}\right)^{3}=\frac{4}{15}$
.当且仅当$2 x=3 y=5 z$,即$x=1, y=\frac{2}{3}, z=\frac{2}{5}$时等号成立答案:$\frac{4}{15}$
平均值不等式的应用条件是什么?
剖析:“一正”:不论是三个数还是n个数的平均值不等式,都要求这三个数或者n个数都是正数,否则不等式是不成立的;“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$为定值),求其积$a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$的最大值,二是已知乘积$a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$为定值,求其和$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$的最小值;“三相等”:取等号的条件是$a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$,不能只有其中一部分相等.
利用平均值不等式证明不等式
【例1】 设$a, b, c \in(0,+\infty)$,求证$:(a+b+c) \cdot\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right) \geq \frac{9}{2}$.
分析:观察求证式子的,通过变形转化为用平均值不等式证明.
反思
不等式的证明方法较多,关键是从式子的入手进行分析,找到证明不等式的突破口,使其出现平均值不等式的形式.
利用平均值不等式求最值
【例2】 求函数$y=x^{2}(1-5 x)\left(0 \leq x \leq \frac{1}{5}\right)$的最值.
分析:对于$x^{2}(1-5 x)$,视$x^{2}$与$1-5 x$为两项,其和不可能为定值,应把$x^{2}$拆为两项$x,x$,故$x,x,(1-5x)$这三项同时配系数才能使和为定值.
反思
本题采用的方法是拆项,把$x^{2}$变为$x,x$,再配系数的方法,请思考采用下面的变形错在什么地方?$\because y=\frac{1}{4} \cdot 4 x \cdot x \cdot(1-5 x) \leqslant \\ \frac{1}{4}\left(\frac{4 x+x+1-5 x}{3}\right)^{3}=\frac{1}{108}, \\ \therefore y_{\operatorname{ma}} \mathrm{x}=\frac{1}{108}$
平均值不等式的应用
【例3】 某同学在电脑城组装了一台电脑,总费用为3 600元.假定在电脑的使用过程中,维修费平均为:第一年200元,第二年400元,第三年600元,依等差数列逐年递增,问:这台电脑使用多少年报废最合算?
分析:要求电脑使用多少年报废最合算,实际上是求使用多少年的平均费用最少,这种年平均费用一般由两部分组成:一部分是电脑成本的平均值,另一部分是电脑维修费用的平均值.这样,电脑的最值报废年限,即: 年平均消耗费用=年均成本费+年均维修费, 电脑最佳报废年限=年均消耗费用最低的年限. 因此,需建立年平均费用y与使用年数x的函数关系式.
易错辨析
易错点:忽视应用平均值不等式求最值应具备的“一正、二定、三相等”而致错.
【例4】 设$a \geqslant 0, b \geqslant 0$,且$a 2+\frac{b^{2}}{2}=1$,求$a \sqrt{1+b^{2}}$的最大值.
真题
1.若$x, y \in \mathbf{R}$,且$x y>0, x^{2} y=2$,则$x y+x^{2}$的最小值是_________.
2.若$0<\theta<\pi$,则函数$y=(1+\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2}$ 的最大值为_________.
3.已知:$0 < a < 1$,求证:$\frac{1}{a}+\frac{4}{1-a} \geqslant 9$.
4.求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.
证明:设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x,y,z,则长方体的体积为$V=x y z$,表面积$A=2 x y+2 y z+2 z x$,根据平均值不等式,
$A=2 x y+2 y z+2 z x \geqslant 6 \sqrt[3]{(x y z)^{2}}$,这里A是定值,即$A \geqslant 6 \sqrt[3]{V^{2}}$,于是$V \leqslant \sqrt{\left(\frac{A}{6}\right)^{3}}$,当且仅当$x y=y z=z x$,即$x=y=z$时等号成立.
故当长方体是正方体时,体积取得最大值,最大值是$\sqrt{\left(\frac{A}{6}\right)^{3}}$.