几类不同增长的函数模型

时间:2019/9/9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
知识点
  • 1.四种函数模型的性质

    函数性质 

    $y=a^{x}$

    $(a>1)$

    $y=\log _{a} x$

    $(a>1)$

    $y=x^{n}$

    $(n>0)$

    $y=k x+b$

    $(k>0)$

    在$(0,+\infty)$上的增减性

    函数

    函数

    函数

    函数

    增长的速度

    越来越

    越来越

    相对较快

    不变

    图象的变化

    越来越陡

    越来越平

    n值而

    不同

    直线上升

    【做一做1】 函数$y=2^{x}$与$y=x^{2}$的图象的交点个数是 (  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

  • 2.三种增长函数模型的比较

    (1)指数函数和幂函数.

    一般地,对于指数函数$y=a^{x}(a>1)$和幂函数$y=x^{n}(n>0)$,通过探索可以发现,在区间(0,+∞)内,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,$\alpha^{x}$会小于$x^{n}$,但由于$\alpha^{x}$的增长快于$x^{n}$的增长,因此总存在一个$x_{0}$,当$x>x_{0}$时,就会有$a^{x}>x^{n}$.

    (2)对数函数和幂函数.

    对于对数函数$y=\log _{a} x(a>1)$和幂函数$y=x^{n}(n>0)$,在区间(0,+∞)内,随着x的增大,$\log _{a} x$增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,$\log _{a} x$可能会大于$x^{n}$,但由于$\log _{a} x$的增长慢于$x^{n}$的增长,因此总存在一个$x_{0}$,当x>$x_{0}$时,就会有$\log _{a} x < x^{n}$.

    (3)指数函数、对数函数和幂函数.

    在区间$(0,+\infty)$内,尽管函数$y=a^{x}(a>1), y=\log _{a} x(a>1)$和$y=x^{n}(n>0)$都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,$y=a^{x}(a>1)$的增长速度越来越快,会超过并远远大于$y=x^{n}(n>0)$的增长速度,而$y=\log _{a} x(a>1)$的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个$x_{0}$,当$x>x_{0}$时,就有$\log _{a} x < x^{n} <  a^{x}$.

    【做一做2】 当x>4时,$a=4^{x}, b=\log _{4} x, c=x^{4}$,则有(  )

    A.$a< b< c$  B.$b< a< c$

    C.$c< a<  b$  D.$b< c< a$

重难点
  • 几类常见函数模型的增长特点

    剖析:
    (1)直线模型:即一次函数模型$y=k x+b(k \neq 0)$.现实生活中很多事例可以用直线模型表示,例如,匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长与拉力的关系等.直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它.

    (2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型$y=k \cdot a^{x}+b(k \neq 0)$叫做指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数$a>1, a^{x}$的系数k>0),常形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力.

    (3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型$y=k \log _{a} x+b(k \neq 0)$叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数$a>1, \log _{a} x$的系数k>0),函数值增大的速度越来越慢.

例题解析
  • 题型一、选择函数描述变化规律

    【例1】 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:


    $\mathcal{Y}_{3}$$\mathcal{Y}_{4}$

    x

    1

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    $\mathcal{Y}_{1}$

    2

    26

    101

    226

    401

    626

    901

    $\mathcal{Y}_{2}$

    2

    32

    1 024

     32 768

    $1.05 \times 10^{6}$

    $3.36 \times 10^{7}$

    $1.07 \times 10^{9}$

    2

    10

    20

    30

    40

    50

    60


    2

    4.322

    5.322

    5.907

    6.322

    6.644

    6.907


    关于x呈指数函数变化的变量是________

    【变式训练1】 今有一组实验数据如下:

    t

    1.99

    3.0

    4.0

    5.1

    6.12

    v

    1.5

    4.04

    7.5

    12

    18.01

     

    现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(  )

    A.$v=\log _{2} t$     B.$v=\log _{\frac{1}{2}} t$

    C.  $v=\frac{t^{2}-1}{2}$        D.$v=2 t-2$

  • 题型二、体会指数函数的增长速度

    【例2】 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:

    甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.

    你觉得哪个公司最慷慨?

    【变式训练2】 某汽车制造商在2017年初公告:公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:

    1557902800713760.png

    如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型$f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$,指数函数模型$g(x)=a \cdot b^{x}+c(a \neq 0, b>0, b \neq 1)$,哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?

  • 题型三、易混易错题

    易错点 提取图象信息错误而导致解题错误

    【例3】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动,其位移y(单位:km)和运动时间x(单位:h)(0≤x≤5)的关系如图所示,给出以下说法:

    ①甲、乙运动的速度相同,都是5 km/h;

    ②甲、乙运动的时间相同,开始运动后相等

    时间内甲的位移比乙大;

    ③甲、乙运动的时间相同,乙的速度是4 km/h;

    ④当甲、乙运动了3h后,甲的位移比乙大3 km,但乙在甲前方2 km处.

    1557902884110717.png

    反思
    图表型应用问题是高考中一道亮丽的风景线.这类试题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等)即可得到完美的解决.

    【变式训练3】

    甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(  )

    A.甲比乙先出发

    B.乙比甲跑的路程多

    C.甲、乙两人的速度相同

    D.甲先到达终点

    1557902910894172.png

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