几类不同增长的函数模型
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
1.四种函数模型的性质
函数性质
$y=a^{x}$
$(a>1)$
$y=\log _{a} x$
$(a>1)$
$y=x^{n}$
$(n>0)$
$y=k x+b$
$(k>0)$
在$(0,+\infty)$上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
越来越快
越来越慢
相对较快
不变
图象的变化
越来越陡
越来越平
随n值而
不同
直线上升
【做一做1】 函数$y=2^{x}$与$y=x^{2}$的图象的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数.
一般地,对于指数函数$y=a^{x}(a>1)$和幂函数$y=x^{n}(n>0)$,通过探索可以发现,在区间(0,+∞)内,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,$\alpha^{x}$会小于$x^{n}$,但由于$\alpha^{x}$的增长快于$x^{n}$的增长,因此总存在一个$x_{0}$,当$x>x_{0}$时,就会有$a^{x}>x^{n}$.
(2)对数函数和幂函数.
对于对数函数$y=\log _{a} x(a>1)$和幂函数$y=x^{n}(n>0)$,在区间(0,+∞)内,随着x的增大,$\log _{a} x$增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,$\log _{a} x$可能会大于$x^{n}$,但由于$\log _{a} x$的增长慢于$x^{n}$的增长,因此总存在一个$x_{0}$,当x>$x_{0}$时,就会有$\log _{a} x < x^{n}$.
(3)指数函数、对数函数和幂函数.
在区间$(0,+\infty)$内,尽管函数$y=a^{x}(a>1), y=\log _{a} x(a>1)$和$y=x^{n}(n>0)$都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,$y=a^{x}(a>1)$的增长速度越来越快,会超过并远远大于$y=x^{n}(n>0)$的增长速度,而$y=\log _{a} x(a>1)$的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个$x_{0}$,当$x>x_{0}$时,就有$\log _{a} x < x^{n} < a^{x}$.
【做一做2】 当x>4时,$a=4^{x}, b=\log _{4} x, c=x^{4}$,则有( )
A.$a< b< c$ B.$b< a< c$
C.$c< a< b$ D.$b< c< a$
几类常见函数模型的增长特点
剖析:
(1)直线模型:即一次函数模型$y=k x+b(k \neq 0)$.现实生活中很多事例可以用直线模型表示,例如,匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长与拉力的关系等.直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它.(2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型$y=k \cdot a^{x}+b(k \neq 0)$叫做指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数$a>1, a^{x}$的系数k>0),常形象地称之为“指数爆炸”.通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力.
(3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型$y=k \log _{a} x+b(k \neq 0)$叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大(底数$a>1, \log _{a} x$的系数k>0),函数值增大的速度越来越慢.
题型一、选择函数描述变化规律
【例1】 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
$\mathcal{Y}_{3}$$\mathcal{Y}_{4}$
x
1
5
10
15
20
25
30
$\mathcal{Y}_{1}$
2
26
101
226
401
626
901
$\mathcal{Y}_{2}$
2
32
1 024
32 768
$1.05 \times 10^{6}$
$3.36 \times 10^{7}$
$1.07 \times 10^{9}$
2
10
20
30
40
50
60
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________.
【变式训练1】 今有一组实验数据如下:
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.$v=\log _{2} t$ B.$v=\log _{\frac{1}{2}} t$
C. $v=\frac{t^{2}-1}{2}$ D.$v=2 t-2$
题型二、体会指数函数的增长速度
【例2】 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:
甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司最慷慨?
【变式训练2】 某汽车制造商在2017年初公告:公司计划2017年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
如果我们分别将2014,2015,2016,2017定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型$f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$,指数函数模型$g(x)=a \cdot b^{x}+c(a \neq 0, b>0, b \neq 1)$,哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?
题型三、易混易错题
易错点 提取图象信息错误而导致解题错误
【例3】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动,其位移y(单位:km)和运动时间x(单位:h)(0≤x≤5)的关系如图所示,给出以下说法:
①甲、乙运动的速度相同,都是5 km/h;
②甲、乙运动的时间相同,开始运动后相等
时间内甲的位移比乙大;
③甲、乙运动的时间相同,乙的速度是4 km/h;
④当甲、乙运动了3h后,甲的位移比乙大3 km,但乙在甲前方2 km处.
反思
图表型应用问题是高考中一道亮丽的风景线.这类试题应结合图象的特征,观察坐标轴所代表的含义,紧扣题目的语言描述,并把它转化为数学特征(单调性、最值等)即可得到完美的解决.【变式训练3】
甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点