高中数学网用二分法求方程的近似解
2.理解二分法的步骤与思想.
1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且$f(a) \cdot f(b) < 0$的函数$y=f(x)$,通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
名师点拨二分法就是通过不断地将所选区间(a,b)一分为二,逐步地逼近零点的方法,即找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点.2.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a,b],验证$f(a) \cdot f(b) < 0$,给定精确度ε.
(2)求区间$(a, b)$的中点c.
(3)计算f(c);
若f(c)=0,则c就是函数的零点;
若$f(a) \cdot f(c) \leq 0$,则令b=c(此时零点$x_{0} \in(a, c)$);
若$f(c) \cdot f(b) \leq 0$,则令a=c(此时零点$x_{0} \in(c, b)$).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若$|a-b| \leq \varepsilon$,则得到零点的近似值为a(或b);否则重复(2)~(4).
【做一做1】 下列说法正确的是( )
A.二分法所求出的方程的解都是近似解
B.函数$f(x)=|x|$可以用二分法求零点
C.用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内
D.若$f(a) f(b) < 0$,且$|a-b|<\varepsilon$(ε为精确度),则区间(a,b)内的任意数都可作函数零点的近似值
3.二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系,可以用二分法来求方程的近似解.
【做一做2】 下面关于二分法的叙述,正确的是( )
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成
D.只有在求函数零点时才用二分法
【做一做3】 已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程$f(x)=0$在(1,2)内近似解的过程中得$f(1) < 0,>0, f(1.25) < 0$,则方程的解所在的区间为( )
A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)
C.(1.5,2) D.不能确定
用二分法求方程的近似解需注意的问题
剖析:
(1)看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束.
(2)初始区间的选定要尽可能小,不同的初始区间结果是相同的,但等分区间的次数却相差较大.
(3)在二分法的第四步,由|a-b|<ε,便可判断零点的近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可.
(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值,并不是所有函数都可以用二分法求零点的近似值;也就是说,并不是所有的方程都可以用二分法求近似解.
题型一、二分法的概念
【例1】 下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【变式训练1】 下列函数中,必须用二分法求其零点的是 ( )
A.$y=x+7$
B.$y=5^{x}-1$
C.$y=\log _{3} x$
D.$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}-x$
题型二、求方程的近似解
【例2】 求方程$\lg x=2-x$的近似解.(精确度0.1)
反思利用二分法求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常取区间$(n, n+1), n \in \mathbf{Z}$;(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M;(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.
【变式训练2】 根据下表,用二分法求函数$f(x)=x^{3}-3 x+1$在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是________.
$f(1)=-1$
$f(2)=3$
$f(1.5)=-0.125$
$f(1.75)=1.109375$
$f(1.625)=0.416015625$
$f(1.5625)=0.1271972656$
题型三、实际应用题
【例3】 某市A地到B地的电话线路发生故障,这是一条10 km长的线路,每隔50 m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在?
【变式训练3】 物理课上老师拿出长为1m的一根电线,此电线中有一处折断无法通电(表面看不出来),如何迅速查出故障存在?要把折断处的范围缩小到3~4cm,要查多少次?
