高中数学网对数
2.理解对数的底数和真数的范围.
3.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程.
1.对数的概念
条件
$a^{x}=N$ (a>0,且$a \neq 1$)
结论
数x叫做以a为底N的对数,a叫做对数的底数,N叫做真数
记法
$x=\log _{a} N$
名师点拨对数式$\log _{a} N$可看作一种记号,表示关于x的方程$a^{x}=N$(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1),幂为N,求幂指数的运算.因此,对数式$\log _{a} N$又可看作幂运算的逆运算.
【做一做1-1】 若$2^{m}=3$,则m=( )
A.$\log _{3} 2$ B.$\log _{2} 3$ C.$\log _{2} 2$ D.$\log _{3} 3$
【做一做1-2】 $\log _{7} 8$的底数是_____,真数是_____.
2.常用对数和自然对数
(1)常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把$\log _{10} N$记为lg N.
(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把$\log _{e} N$记为ln N.
【做一做2】 lg 7与ln 8的底数分别是( )
A.10,10 B.e,e C.10,e D.e,10
3.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时,$a^{x}=N \Leftrightarrow x=\log _{a} N$.
知识拓展 当$a^{x}=N$时,$x=\log _{a} N$,则$a^{\log _{a} N}=N$（a>0,且a≠1).
【做一做3】 $\log _{5} 4=a$化为指数式是( )
A.$5^{4}=a$ B.$4^{5}=a$
C.$5^{a}=4$ D.$4^{a}=5$
4.对数的基本性质
(1)零和负数没有对数.
(2)$\log _{a} 1$=0(a>0,且a≠1).
(3)$\log _{a} a$=1(a>0,且a≠1).
【做一做4-1】 在$b=\log _{3}(m-1)$中,实数m的取值范围是( )
A.R B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞)
【做一做4-2】$\log _{4} 1+\log _{(\sqrt{2}-1)}(\sqrt{2}-1)=$______
如何理解对数的概念
剖析:(1)对数是由指数转化而来.对数式$\log _{a} N=b$是由指数式$a^{b}=N$转化而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数b.对数式与指数式的关系如图所示.
在指数式$a^{b}=N$中,若已知a,N,求幂指数b,便是对数运算$b=\log _{a} N$.
(2)在对数记号$\log _{a} N$中,a>0,且a≠1,N>0.
因为在$a^{b}=N$中,a>0,且a≠1,所以在$\log _{a} N$中,a>0,且a≠1.
又因为正数的任何次幂都是正数,即$a^{b}>0(a>0)$,所以$N=a^{b>} 0$.
(3)并不是所有的指数式都能直接改写成对数式,如$(-2)^{2}=4$不能写成$\log _{-2} 4=2$.只有当a>0,且a≠1,N>0时,才有$a^{b}=N \Leftrightarrow b=\log _{a} N$.
(4)因为对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式,所以可以将对数问题转化为指数问题来解决.
题型一、对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式与对数式互化:
(1)$\log _{2} 16=4$; (2)$\log _{\frac{1}{3}} 27=-3$;
(3)$\log _{\sqrt{3}} 27=6$; (4)$4^{3}=64$;
(5)$3^{-2}=\frac{1}{9}$ (6）$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=16$
分析:利用当a>0,且a≠1时,$\log _{a} N=b \Leftrightarrow a^{b}=N$进行互化.
【变式训练1】 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.$e^{0}=1$与$\ln 1=0$
B.$8^{\frac{1}{3}}=2$与$\log _{8} 2=\frac{1}{3}$
C.$\log _{3} 9=2$与$9^{\frac{1}{2}}=3$
D.$\log _{3} 3=1$与$3^{1}=3$
题型二、求对数的值
【例2】 求下列各式的值:
(1)$\log _{\frac{1}{3}} 81$;（2）$\lg 0.001$；（3）$\log _{(\sqrt{5}-2)}(\sqrt{5}+2)$
反思
1.求对数式$\log _{a} N$(a>0,且a≠1,N>0)的值的步骤:（1）设$\log _{a} N=m$;(2)将$\log _{a} N=m$写成指数式$a^{m}=N$;(3)将N写成以a为底的指数幂$N=a^{b}$,则m=b,即$\log _{a} N=b$.
（2）对数恒等$a^{\log _{a} N}=N$（a>0,且a≠1,N>0).
【变式训练2】 求下列各式的值:
（1）$\ln e^{\frac{1}{2}}$；（2）$\lg \left(\log _{3} 3\right)$；（3）$3^{\log _{3} 6}$
题型三、解方程
【例3】 求下列各式中x的值:
(1)$\log _{2}\left(\log _{4} x\right)=0$;
(2)$\log _{3}(\lg x)=1$;
(3)$\log _{(\sqrt{2}-1)} \frac{1}{\sqrt{3+2 \sqrt{2}}}=x$
【变式训练3】 求下列各式中的x值:
(1)$\log _{2} 8=x$;(2)$\ln (\lg x)=1$;(3)$\log _{64} x=-\frac{2}{3}$
题型四、易混易错题
易错点 忽视对数的底数的取值范围
【例4】 已知$\log _{x} 9=2$,求x的值.
【变式训练4】 已知$\log _{x}\left(x^{2}-3 x+3\right)=1$,则x=______.
