高中数学网指数函数的图象和性质
2.初步掌握指数函数的性质,并能解决与指数函数有关的定义域、值域、定点问题.
1.指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量.
名师点拨指数函数$y=a^{x}$(a>0,且a≠1)的特征:
(1)底数:大于零且不等于1的常数,且不含自变量x.
(2)指数:仅有自变量x,且x的系数是1.
(3)系数:$a^{x}$的系数是1.
【做一做1】 已知函数$y=a \cdot 2^{x}$与$y=2^{x+b}$都是指数函数,则a+b的值为( )
A.2 B.1
C.0 D.不确定
2.指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示:
a>1
0 < a<1
图象
性质
定义域
R
值域
$(0,+\infty)$
过定点
过定点(0,1),即当x=0时,y=1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
归纳总结
指数函数的性质可用如下口诀来记忆:指数增减要看清,抓住底数不放松;
反正底数大于0,不等于1已表明;
底数若是大于1,图象从下往上增;
底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(0,1)点.
【做一做2-1】$y=\left(\frac{3}{4}\right)^{x}$ 的图像可能是（ ）。
【做一做2-2】$y=(\sqrt{3})^{x}$的值域是（ ）。
A.R B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(0,+∞)
【做一做2-3】 若指数函数$y=(a-2)^{x}$在R上是增函数,则实数a的取值范围是_________.
1.对指数函数中底数取值范围的理解
剖析:(1)若a < 0,则对于x的某些数值,可使$a^{x}$无意义.如$(-2)^{x}$,当$x=\frac{1}{2}$时无意义。
(2)若a=0,则当x>0时,$a^{x}=0$;当x≤0时,$a^{x}$无意义.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,$a^{x}$是一个常量1,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1,这样对于任何x∈R,$a^{x}$都有意义.
2.指数函数$y=a^{x}$(a>0,且a≠1)中,底数a对函数图象的影响
剖析:设$y=f(x)=a^{x}$,则$f(1)=a$,即直线x=1与指数函数$f(x)=a^{x}$图象交点的纵坐标是底数a.如图①所示.
指数函数$y=a^{x}, y=b^{x}, y=c^{x}, y=d^{x}$的图象如图②所示,则有a>b>1>c>d>0.从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即底数大的在上边;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即底数大的在下边.
知识拓展当a>0,且a≠1时,指数函数$y=a^{x}$与$y=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$（或$y=a^{-x}$）的图象关于y轴对称。
题型一、判断指数函数
【例1】 下列函数中,哪些是指数函数?
(1)$y=(-8)^{x} ;(2) y=2^{x^{2}-1}$
(3)$y=(2 a-1) x\left(a>\frac{1}{2}, a \neq 1\right)$
(4)$y=2 \cdot 3^{x}$.
反思 判断一个函数是否为指数函数,只需判定其解析式是否符合$y=a^{x}$(a>0,且a≠1)这一,其具备的特点如下:
这三个特点缺一不可.
【变式训练1】 下列函数:①$y=x^{2}$；②$y=3 \cdot 4^{x}$；③$y=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{x}$；④$y=\frac{1}{2^{x}}$ ⑤$y=2^{x}+1$
其中,指数函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题型二、求指数型函数的定义域、值域
【例2】 求下列函数的定义域与值域.
$(1) y=2^{\frac{1}{x-4}} ;(2) y=\left(\frac{2}{3}\right)^{-|x|}$
【变式训练2】 已知函数$f(x)=a^{\sqrt{x+1}}$(a>0,且a≠1)的图象过点(0,3),则当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为( )
A.$\left[\frac{1}{9}, \frac{1}{3}\right]$ B.$[1,9]$ C.$[3,9]$ D.$[1,2]$
题型三、指数函数图象的应用
【例3】 若函数$f(x)=a^{x-1}+3$(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,试求点P的坐标.
【变式训练3】 如图是指数函数①$y=a^{x}$,②$y=b^{x}$,③$y=c^{x}$,④$y=d^{x}$的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为( )
A.a < b < 1 < c < d B.b < a < 1 < d < c C.1 < a < b < c < d D.a < b < 1 < d < c
题型四、易混易错题
易错点 利用换元法时,忽视中间变量的取值范围
【例4】 求函数$y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}+\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$的值域
【变式训练4】 已知$f(\sqrt{x}+1)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{x}}$的值域为( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(0,+∞) D.(0,1]
