高中数学网指数幂及其运算
2.掌握指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
1.分数指数幂
(1)意义：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$，$\mathrm{a}^{-\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\mathrm{a}^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$，其中$a>0, m, n \in \mathbf{N}^{*}$，且n>1.
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
【做一做1-1】$3^{\frac{2}{5}}$等于（ ）
A.$\sqrt[5]{3}$ B.$\sqrt{3^{5}}$ C. $\sqrt{3^{\frac{1}{5}}}$ D.$\sqrt[5]{3^{2}}$
【做一做1-2】$5^{-\frac{4}{5}}$等于（ ）
A.$5^{\frac{5}{4}}$ B.$\frac{1}{\sqrt[4]{5^{5}}}$ C.$\sqrt[5]{5^{4}}$ D.$\frac{1}{\sqrt[5]{5^{4}}}$
2.有理数指数幂的运算性质
(1)$a^{r} a^{s}=$____(a>0,r,s∈Q);
(2)$\left(a^{r}\right)^{s}=$______(a>0,r,s∈Q);
(3)$(a b)^{r}=$______arbr(a>0,b>0,r∈Q).
归纳总结三条运算性质的文字叙述:
(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
【做一做2-1】 已知m>0,则$m^{\frac{1}{3}} \cdot m^{\frac{2}{3}}$等于（ ）
A.m B.$m^{\frac{1}{3}}$
C.1 D.$m^{\frac{2}{9}}$
【做一做2-2】 已知x>0,y>0,化简$\left(x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{3}{7}}\right)^{21}$等于 ( )
A.xy B.$\frac{x^{14}}{y^{9}}$
C. $x^{\frac{2}{63}} y^{-\frac{1}{49}}$ D.21$x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{3}{7}}$
3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂$a^{\alpha}(a>0$,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
知识拓展
在引入分数指数幂的概念后,指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展;在引入无理数指数幂的概念后,指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展.【做一做3-1】$\left(5^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$等于（ ）
A.10 B.25
C. $10^{\sqrt{2}}$ D.25
【做一做3-2】$(\sqrt{3})^{1+\sqrt{3}} \times(\sqrt{3})^{1-\sqrt{3}}$等于（ ）
A. $\sqrt{3}$ B.2$\sqrt{3}$
C.1 D.3
$a^{\frac{2}{4}}$与$a^{\frac{1}{2}}$不一定相等
剖析:当a=-4时,$a^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{a^{2}}=\sqrt[4]{(-4)^{2}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^{4}}=2$，而$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-4}$无意义，所以$a^{\frac{2}{4}} \neq a^{\frac{1}{2}}$。
其原因是指数幂的运算性质中，$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r s}$成立的条件是a>0,r,s∈R,但是$a^{\frac{2}{4}}$和$a^{\frac{1}{2}}$中a的取值范围分别是R和[0,+∞),所以，$a^{\frac{2}{4}}$与$a^{\frac{1}{2}}$不一定相等.因此,在应用指数幂的运算性质时,要注意其前提条件.
题型一、根式化为指数式
【例1】 将下列根式化为分数指数幂的形式:
（1）$\sqrt{\frac{1}{a} \sqrt{\frac{1}{a}}}(a>0)$
（2）$\frac{1}{\sqrt[3]{x\left(\sqrt[5]{x^{2}}\right)^{2}}}$
（3）$\left(\sqrt{b^{-\frac{2}{3}}}\right)^{-\frac{2}{3}}(b>0)$
【变式训练1】 将下列根式化为分数指数幂的形式:
（1）$\sqrt[3]{a \cdot \sqrt{a}}(a>0)$
（2）$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a^{3}}$
（3）$\sqrt{a b^{3} \sqrt{a b^{5}}}(a>0, b>0)$
题型二、分数指数幂的运算
【例2】 (1)计算:$0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{7}{8}\right)^{0}+[(-2) 3]^{\frac{4}{3}} \\ +16^{-0.7} 5+|-0.01|^{\frac{1}{2}}$，
（2）化简：$\sqrt[3]{a^{\frac{9}{2}} \sqrt{a^{-3}}} \div \sqrt{\sqrt[3]{a^{-7}} \cdot \sqrt[3]{a^{13}}}(a>0)$
【变式训练2】 化简求值:
（1）$\left(-3 \frac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+(0.002)^{-\frac{1}{2}}-10(\sqrt{5}-2)^{-1} \\ +(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{0}$
（2）$\left(a^{-2} b^{-3}\right) \cdot\left(-4 a^{-1} b\right) \div\left(12 a^{-4} b^{-2} c\right)$
（3）$\sqrt{6 \frac{1}{4}}-\sqrt[3]{3 \frac{3}{8}}+\sqrt[3]{0.125}$
题型三、根据条件求代数式的值
【例3】 已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$，求$a+a^{-1}, a^{2}+a^{-2}$的值。
【变式训练3】 已知$\frac{3 a}{2}+b=1$，则$\frac{9^{a} \cdot 3^{b}}{\sqrt{3^{a}}}=$ _______.
题型四、易混易错题
易错点 忽略$a^{\frac{1}{n}}$有意义的条件导致计算出错。
【例4】 化简:$(1-a)\left[(a-1)^{-2}(-a)^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{2}}$
【变式训练4】 化简$\left[\sqrt[3]{(-5)^{2}}\right]^{\frac{3}{4}}$的结果为（ ）
A.5 B.$\sqrt{5}$ C. $-\sqrt{5}$ D.-5
