高中数学网补集
2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.
3.能借助Venn图,利用集合运算解决有关的实际应用问题.
1、全集
定义
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的
所有元素,那么就称这个集合为全集
记法
通常记作U
图示
U
2、补集
文字语言
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作$C_{u}A$
符号语言
$C_{u}A=\left \{ x|x\in U,x\notin A \right \}$
图形语言
归纳总结
1.简单地说,?UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.
2.性质:A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A,?UU=?,
?U?=U,?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
3.如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
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【做一做1】 设全集U={1,2,4,8},M={1,2},则?UM等于( )
A.{4} B.{8} C.{4,8} D.?
【做一做2】 设全集为U,M={0,2,4},?UM={6},则U等于( )
A.{0,2,4,6} B.{0,2,4}
$C_{A}C$与$C_{B}C$不一定相等
剖析:依据补集的含义,符号$C_{A}C$和$C_{B}C$都表示集合C的补集,但是$C_{A}C$表示集合C在全集A中的补集,而$C_{B}C$表示集合C在全集B中的补集;因为集合A和B不一定相等,所以$C_{A}C$与$C_{B}C$不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错.如集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},
则$C_{A}C$={2,5,6,7,8,9},$C_{B}C$={0,2},很明显$C_{A}C \neq C_{B}C$.
题型一、简单的补集运算问题
【例1】 已知全集U,集合$A=\{1,3,5,7\}, C_{U} A=\{2,4,6\}$,
$ C_{U} B=\{1,4,6\}$，求集合B.反思
根据补集的定义,借助Venn图,可直观地求出全集.此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图求解;当集合中有无限个元素时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.【变式训练1】 已知全集$U=\{x |-5 \leq x \leqslant 2\}$，集合$A=\{x | 0 \leqslant x < 1\}$，则$C_{U^{A}}=$_________。
题型二、交集、并集、补集的综合运算
【例2】 设全集为R，$A=\{x | 3 \leqslant x < 7\}$, $B=\{x | 2< x < 10\}$，求$C_{\mathrm{R}}(A \cup B)$及$\left(C_{\mathbf{R}} A\right) \cap B$。
【变式训练2】 已知全集$U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，集合$A=\{0,1,3,5,8\}$，集合$B=\{2,4,5,6,8\}$，则$\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)$等于( )
A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6}
题型三、有关集合的实际应用题
【例3】 某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.【变式训练3】 某商店销售电视机和电脑两种电器,有15人进入该商店,有6人买了电视机,有5人买了电脑,其中有2人同时买了电视机和电脑,求这15人中没有在该商店消费的人数.
题型四、由集合的补集关系求参数的值（范围）
【例4】 设集合$A=\{x | x+m \geqslant 0\}$, $B=\{x |-2< x < 4\}$，全集$U=\mathbf{R}$，且$\left(C_{U} A\right) \cap B=\varnothing$ ,求实数m的取值范围.【变式训练4】 若将例4中条件“$\left(C_{U^{A}}\right) \cap B=\varnothing$”改为“$\left(C_{U} B\right) \cup A=\mathbf{R}$”,其他条件不变,求m的取值范围.题型五、易混易错题
易错点 求补集时易漏掉一些特殊元素【例5】 已知R为全集,$A=\{x |-1 \leq x < 3\}$,$B=\{x |-2 < x \leq 3\}$,求$\left(C_{\mathrm{R}} A\right) \cap B$。
【变式训练5】 设全集$U=\left\{2,3, a^{2}+2 a-3\right\}, A=\{|2 a-1|, 2\}$,
$ C_{U} A=\{5\}$,求实数a的值.
