高中数学网分段函数与映射
1.分段函数
所谓分段函数,是指在定义域的不同部分,有不同的对应关系的函数.
名师点拨分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.分段函数的定义域是各段自变量取值的并集,值域是各段函数值的并集.
【做一做1】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}, x \geq 0} \\ {x+1, x < 0}\end{array}\right.$，则$f(1)$等于( )
A.0 B.1 C.$\sqrt{2}$ D.2
2.映射
(1)定义:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
归纳总结
满足下列条件的对应f:A→B为映射:(1)A,B为非空集合;
(2)有对应关系f;
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对应.
(2)映射与函数的联系
函数
映射
区别
函数中的两个集合A和B必须是非空数集
映射中的两个集合A和B可以是数集,也可以是其他集合,只要非空即可
联系
函数是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,但不一定是函数
归纳总结
函数新概念,记准三要素;定义域值域,关系式相连;函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常见;函数变映射,只是数集变;不再是数集,任何集不限.
【做一做2-1】 已知映射f:A→B,对任意x∈A,则B中与x对应的元素有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
【做一做2-2】 下列从集合M到集合N的对应中,不是映射的是( )
1.理解映射f:A$\rightarrow$B
剖析:(1)集合A,B中的元素可以是数、点或图形等具有确定性的对象;(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的;(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而且这个与之对应的元素是唯一的,这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心;(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应;(5)映射是特殊的对应,即“多对一”或“一对一”的对应,而对应不一定是映射,其中“一对多”的对应不是映射.
2.画分段函数的图象
剖析:画分段函数的图象时,要先分析分段函数的定义域,遵循定义域优先的原则.例如:画函数$y=\left\{\begin{array}{l}{(x+1)^{2}, x \leq 0} \\ {-x, x>0}\end{array}\right.$的图象步骤为:①画二次函数$y=(x+1)^{2}$的图象,取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x的图象,取其在区间(0,+∞) 内的图象,其他部分删去不要;③这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象(如图所示).
由此可得,画分段函数$y=\left\{\begin{array}{l}{f_{1}(x), x \in D_{1}} \\ {f_{2}(x), x \in D_{2}} \\ {\ldots}\end{array}\right.$（$D_{1},D_{2}$,…,两两的交集是空集) 的图象的步骤为:
①画整个函数$y=f_{1}(x)$的图象,取其在区间$D_{1}$上的图象,其他部分删去不要;
②画整个函数$y=f_{2}(x)$的图象,取其在区间$D_{2}$上的图象,其他部分删去不要;
……
将各个部分的图象合起来就是所要画的分段函数的图象.
题型一、判断映射
【例1】 下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①$M=N=\mathbf{R}, f : x \rightarrow y=\frac{1}{x}, x \in M, y \in N$;②$M=N=\mathbf{R}, f : x \rightarrow y=x^{2}, x \in M, y \in N$;③$M=N=\mathbf{R}, f : x \rightarrow y=\frac{1}{|x|+x}, x \in M, y \in N$;④$M=N=\mathbf{R}, f : x \rightarrow y=x^{3}, x \in M, y \in N$.
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
反思：判断一个对应是不是映射,依据是映射的定义.判断方法为:先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若不是,则不是映射;若是,再看对应元素是否唯一,若唯一,则是映射;若不唯一,则不是映射.
【变式训练1】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:
(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|;
(2)A={平面内的fun88网上娱乐},B={平面内的矩形},对应关系f:作fun88网上娱乐的内接矩形;
(3)A={Fun88赞助(1)班的男生},B=R,对应关系f:每个男生对应自己的身高;
(4)$A=\{x | 0 \leq x \leq 2\}, B=\{y | 0 \leq y \leq 6\}$,对应关系$f : x \rightarrow y=\frac{1}{2} x$
题型二、求分段函数的函数值
【例2】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1, x>0} \\ {\pi, x=0} \\ {0, x < 0}\end{array}\right.$，求$f(f(f(-3)))$。
【变式训练2】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+2, x \leq-1} \\ {2 x,-1 < x < 2} \\ {\frac{x^{2}}{2}, x \geq 2}\end{array}\right.$
(1)求$f\left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$的值；
(2)若f(a)=2,求a的值.
题型三、分段函数的图象及应用
【例3】
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为$2\sqrt{2} \mathrm{cm}$,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x cm,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.
【变式训练3】根据函数f(x)的图象(如图)写出其解析式。
题型四、易混易错题
易错点 错误理解分段函数
【例4】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^{2}-1, x \geq 0} \\ {2 x+1, x < 0}\end{array}\right.$，若$f(x)=3$,求x的值.
【变式训练4】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+4,-3 \leq x \leq 0} \\ {x^{2}-2 x, 0< x \leq 4} \\ {-x+2,4< x \leq 5}\end{array}\right.$f(x)的图象.
