高中数学网函数的表示法
表示法 | 定义 |
|---|---|
解析法 | 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式 |
图象法 | 以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数y=f(x)的图象,这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法 |
列表法 | 列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法 |
归纳总结
三种表示法的优缺点如下表:
表示法 | 优点 | 缺点 |
解析法 | 简明、全面地概括了变量之间的关系,且利用解析式可求任一自变量对应的函数值 | 不够形象直观,而且并不是所有函数都有解析式 |
图象法 | 能形象直观地表示变量的变化情况 | 只能近似地求出自变量所对应的函数值 |
列表法 | 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值 | 只能表示有限个数的自变量所对应的函数值 |
【做一做1】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式$y=\frac{2}{x-3}+10(x-6)^{2}(3< x < 6)$,这是用______法表示y关于x的函数.
【做一做2】 农业科学家在研究玉米的生长过程时,把生长过程分为32个生长阶段,通过试验得到了各个生长阶段植株高度的相关数据,如图所示.
在玉米的生长过程中,给定生长的某个阶段,就可以从这幅图中查到唯一一个与这个阶段相对应的玉米的植株高度,因此这个图可表示玉米的植株高度关于生长阶段的函数.这种表示函数的方法是_______.
【做一做3】 已知函数f(x)由下表给出:
x | -1 | 0 | 1 | 2 |
f(x) | 4 | 2 | 0 | 1 |
则$f(f(2))$_______.
1.画函数$f(x)$图象的基本方法
剖析:(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等基本函数,则依据各种函数的图象特点,直接画出$f(x)$的图象.
(2)若函数$f(x)$不是基本函数,则用描点法画出$f(x)$的图象,其步骤是:列表、描点、连线.
2.判断一个图形是否可以作为函数的图象
剖析:任作垂直于x轴的直线,若图形与此直线至多有一个交点,则此图形可以作为函数图象;若图形与直线存在两个或两个以上的交点,则此图形不可以作为函数的图象.
如图,由上述判断方法可得,图①可以作为函数的图象;图②不可以作为函数的图象,因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点.
题型一、函数图像的应用
【例1】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( )
反思关于函数图象的问题,一般情况下信息都暗含在图象中,应从坐标的含义及图象的走势两方面入手分析.
【变式训练1】
某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(单位:年)的函数图象如图,
下列四种说法:
①前三年中,产量增长的速度越来越快;
②前三年中,产量增长的速度越来越慢;
③第三年后,这种产品停止生产;
④八年来,年产量保持不变.
其中说法正确的是( )
A.②③ B.②④ C.①③ D.①④
题型二、求函数的解析式
【例2】 已知函数$f(x)=g(x)+h(x)$,$g(x)$关于$x^{2}$成正比,h(x)关于$\sqrt{x}$成反比，且$g(1)=2, h(1)=-3$.求:
(1)函数$f(x)$的解析式及其定义域;
(2)$f(4)$的值.
【变式训练2】 求满足下列条件的函数$f(x)$的解析式:
(1)$f(x+1)=2 x^{2}+5 x+2$;
(2)已知二次函数的图象过点$(3,8)$,且顶点坐标为$(-6,5)$.
题型三、图象法求值域
【例3】 已知函数$f(x)=x^{2}-2 x(-1 \leq x \leq 2)$.
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出$f(x)$的值域.
【变式训练3】 画出函数$y=-2x+1,x∈[0,2]$的图象,并根据图象写出函数的值域.题型四、易混易错题
易错点 忽略变量的实际意义
【例4】 如图所示,在矩形$ABCD$中,$BA=3,CB=4$,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.
【变式训练4】 将长为12 m的铁丝折成矩形,且矩形的一边长为x m,求面积y(单位:$\mathrm{m}^{2}$)关于x的函数表达式,并画出函数的图象.
