高中数学网函数的单调性
增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 < x2时,都有
f(x1)<f(x2)
f(x1)>f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象
特征
函数f(x)在区间D上的图象是上升的
函数f(x)在区间D上的图象是下降的
图示
名师点拨1.函数$f(x)$在区间D上是增函数,$x_{1}, x_{2} \in D$,且$x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]>0 \\ \Leftrightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>0$.
2.函数$f(x)$在区间D上是减函数,$x_{1}, x_{2} \in D$,且$x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right] < 0 \\ \Leftrightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} < 0$.
【做一做1-1】 已知函数$y=f(x)$在区间(a,b)内是减函数,$x_{1}, x_{2} \in(a, b)$,且$x_{1} < x_{2}$,则有( )
$\mathrm{A} . f\left(x_{1}\right) < f \left(x_{2}\right) \quad \mathrm{B} \cdot f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right)$
C.$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ D.以上都有可能
【做一做1-2】已知[0,3]是函数$f(x)$定义域内的一个区间,若$f(1) < f(2)$,则函数$f(x)$在区间[0,3]上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.不是增函数就是减函数 D.增减性不能确定
2.单调性
(1)定义:如果函数$y=f(x)$在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数$y=f(x)$在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数$y=f(x)$的单调区间.
(2)图象特征:函数$y=f(x)$在区间D上具有单调性,则函数$y=f(x)$在区间D上的图象是上升的或下降的.
归纳总结基本函数的单调区间如下表所示:
函数
条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数
$(y=k x, k \neq 0)$
与一次函数
$(y=k x+b, k \neq 0)$k>0
R
无
k<0
无
R
反比例函数
$\left(y=\frac{k}{x}, k \neq 0\right)$k>0
无
$(-\infty, 0)$和$(0,+\infty)$
k<0
$(-\infty, 0)$和$(0,+\infty)$
无
二次函数$\left(y=a x^{2}+b x+c, \\ a \neq 0\right)$
a>0
$\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$
$\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$
a<0
$\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$
$\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$
【做一做2】 已知函数$f(x)$的图象如图所示,则( )
A.函数$f(x)$在[-1,2]上是增函数
B.函数$f(x)$在[-1,2]上是减函数
C.函数$f(x)$在[-1,4]上是减函数
D.函数$f(x)$在[2,4]上是增函数
对函数单调性的理解
剖析:函数单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征,它反映了函数图象的变化趋势（当自变量增大时,函数值是增大还是减小,图象是上升
还是下降）;函数$y=f(x)$在区间D上是增函数(减函数),等价于对于D中任意的两个自变量$x_{1}, x_{2}$,且$x_{1} < x_{2}$,都有$f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)\left(f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right)\right)$;其中“任意”二字是关键,不能用具体的两个自变量代替,否则就会产生错误.比如函数$f(x)=\frac{1}{x}$,取$x_{1}=-1, x_{2}=1, f\left(x_{1}\right)=-1, f\left(x_{2}\right)=1$,
$f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right)$,如果由此推出$f(x)=\frac{1}{x}$是增函数就会产生错误,原因就在于$x_{1}, x_{2}$是定值,不具有任意性.函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质,因此它是一个“局部”的性质,并且在考查函数的单调性时,必须先看函数的定义域.如果一个函数有多个单调增(减)区间,这些增(减)区间应用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体).例如$f(x)=\frac{1}{x}$的单调减区间可以写成$(-\infty, 0),(0,+\infty)$ （或者写成 $ ( - \infty, 0 ) $ 和 $ ( 0,+\infty ) $,但不能写成 （ $-\infty, 0$ ）∪ （ $0,+\infty$ ）.
由于函数的单调性是反映函数图象变化趋势的,所以在某一点处没法讨论函数的单调性,比如函数$y=x^{2}$的单调增区间可以写成开区间$(0,+\infty)$,也可以写成$[0,+\infty)$,但是如果定义域中不包含这个点,则必须使用开区间表示.
题型一、证明函数的单调性
【例1】 求证:函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(0,1)$内为减函数.
反思
证明函数单调性的常用方法是定义法,利用定义法判断函数单调性的步骤为:
【变式训练1】 用单调性的定义证明:函数$f(x)=2 x^{2}+4 x$在$(-\infty,-1]$上是减函数.
题型二、利用图象确定函数的单调区间
【例2】 已知函数$f(x)=-x^{2}+2|x|+3$.
(1)用分段函数的形式表示$f(x)$;
(2)画出$f(x)$的图象;
(3)根据图象写出$f(x)$的单调区间.
反思
1.对于基本函$\left(y=k x+b(k \neq 0), y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0), \\ y=\frac{k}{x}(k \neq 0)\right)$.2.对于含有绝对值的函数,往往转化成分段函数,画出其图象,借助图象的变化趋势分析函数的单调性(区间).
【变式训练2】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^{2}, x \geq 0} \\ {x+1, x < 0}\end{array}\right.$,则$f(x)$的单调增区间是_______,单调减区间是_______.
题型三、函数单调性的应用
【例3】 已知函数$f(x)$的定义域为[-2,2],且$f(x)$在区间[-2,2]上是增函数,$f(1-m) < f(m)$,求实数m的取值范围.
反思
1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.需要注意的是,不要忘记函数的定义域.2.(1)若$f(x)$在区间D上是增函数,$x_{1}$,$x_{2}$是区间D内的任意两个实数,则$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}>x_{2}$; $ f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}< x_{2} $ .
(2)若$f(x)$在区间D上是减函数,$x_{1}$,$x_{2}$是区间D内的任意两个实数,则$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}< x_{2} ; \\ f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}>x_{2}$.
【变式训练3】 已知函数$y=a x$和$y=-\frac{b}{x}$在$(0,+\infty)$内都是减函数,则函数$f(x)=b x+a$在R上是( )
A.减函数,且$f(0) < 0$ B.增函数,且$f(0) < 0$
C.减函数,且$f(0)>0$ D.增函数,且$f(0)>0$
题型四、易混易错题
易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误
【例4】 已知函数$f(x)=x^{2}+2(a-1) x+2$.
(1)若函数$f(x)$的单调递减区间是$(-\infty, 4]$,则实数a的值(或取值范围)是________;
(2)若函数$f(x)$在区间$(-\infty, 4]$上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是________.
【变式训练4】 已知函数$f(x)=|x+a|$在区间 （-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.0< a≤1 C.a≤-1 D.-1≤a < 0
