高中数学网函数的概念
1.函数的概念
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域,则值域是集合B的子集.
名师点拨1.“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说,定义域为空集的函数是不存在的.
2.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数.
3.理解函数的概念要注意,函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.
【做一做1】 下列对应或关系式中是从A到B的函数的是( )
A.$A \in \mathbf{R}, B \in \mathbf{R}, x^{2}+y^{2}=1$
B.$A=\{1,2,3,4\}, B=\{0,1\}$,对应关系如图:
C.$A=\mathbf{R}, B=\mathbf{R}, f x \rightarrow y=\frac{1}{x-2}$
D.$A=\mathbf{Z}, B=\mathbf{Z}_{2} f : x \rightarrow y=\sqrt{2 x-1}$
2.常见函数的定义域和值域
函数
函数关系式
定义域
值域
正比例函数
$y=k x(k \neq 0)$
R
反比例函数
$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$
$\{x | x \neq 0\}$
$\{y | y \neq 0\}$
一次函数
$y=k x+b$
$(k \neq 0)$
R
二次函数
$y=a x^{2}+b x+c$
$(a \neq 0)$
R
a>0
$\left\{y | y \geq \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right\}$
a<0
$\left\{y | y \leq \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right\}$
归纳总结
有时给出的函数没有明确说明其定义域,这时,它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.例如函数$y=\sqrt{x}$,函数$y=\frac{1}{x+1}$的定义域为$(-\infty,-1) \cup(-1,+\infty)$。【做一做2-1】 已知函数y=f(x)的定义域为P,值域为Q,对于m∈P,与m对应的函数值为n,则有( )
A.$n \in P$ B.$m=n$ C.$n \in P \cap Q$ D.n唯一
【做一做2-2】 函数y=5-2x的定义域是( )
A.R B.Q C.N D.?
【做一做2-3】 函数$y=2 x^{2}-x$的值域是________.
3.区间与无穷大
(1)区间的概念.
设a,b是两个实数,且a < b.
$\{x | a < x < b\}$$\{x | a \leqslant x < b\}$
定义
名称
符号
数轴表示
$\{x | a \leqslant x \leqslant b\}$
闭区间
[a,b]
$\{x | a < x < b\}$
开区间
(a,b) 
$\{x | a \leqslant x < b\}$
半闭半开区间
[a,b) 
$\{x | a < x \leqslant b\}$
半开半闭区间
(a,b]
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识拓展
1.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;
2.区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;
3.用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心fun88网上娱乐圈的区别;
4.由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.
(2)无穷大.
“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,满足x≥a,x>a,x≤a,x < a的实数x的集合可用区间表示,如下表.
定义
R
$\{x | x \geqslant a\}$
$\{x | x>a\}$
$\{x | x \leqslant a\}$
$\{x | x< a\}$
符号
$(-\infty,+\infty)$
$[a,+\infty)$
$(a,+\infty)$
$(-\infty, a]$
$(-\infty, a)$
【做一做3-1】 集合{x|x≥1}用区间表示为( )A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
【做一做3-2】 区间[5,8)表示的集合是( )
A.{x|x≤5,或x>8} B.{x|5 < x≤8}
C.{x|5≤x < 8} D.{x|5≤x≤8}
名师点拨
1.∞是一个符号,而不是一个数;2.以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
4.函数相等
一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由定义域和对应关系决定的.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.
【做一做4】 函数y=x-5与s=t-5是否相等?
函数符号$f( x )$的意义
剖析:
(1)符号$y=f( x )$表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积.(2)符号$f( x )$与$f( m )$既有区别又有联系,当m是变量时,函数$f( x )$与函数$f( m )$相等;当m是常数时,$f( m )$表示当自变量$x=m$时对应的函数值,是一个常量.
(3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.
例如$f(x)=x^{2}-x+5$,当x=2时,看作对“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,最后加上5;当x为某一代数式(或某一个函数)时,则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:$f(2 x+1)=(2 x+1)^{2}-(2 x+1)+5$,$f(g(x))=[g(x)]^{2}-g(x)+5$.
题型一、函数关系的判断
【例1】 下列式子能否确定y是x的函数?
(1）$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1$；
(2）$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}$。
分析:先将已知式子进行等价转换,化为用x表示y的形式,再利用函数的定义进行判断.
反思
1.判断一个对应关系f:A→B是不是函数,要从以下三个方面去判断:(1)A,B必须是非空数集;(2)A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应;(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.2.函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多 ”.
【变式训练1】 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:
其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型二、求函数值
【例2】已知$f(x)=\frac{1}{1+x}$（$x \in \mathbf{R}$，且$x \neq-1$），$g(x)=x^{2}+2(x \in \mathbf{R})$
(1)求$f(2)$,$g(2)$的值;
(2)求$f(g(3))$的值.
反思
已知$f(x)$的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得$f(a)$的值;已知$g(x)$的表达式时,先求$g(a)$的值$m$,再求$f(m)$的值即得$f(g(a))$的值,即遵循由里往外的原则求$f(g(a))$.【变式训练2】 (1)已知$f(x)=2 x+1$,$g(x)=x^{2}+1$,若$f(2 a+1)=7$,则$f(g(a))=$_____;
(2)函数y=x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为_____.
题型三、求函数的定义域
【例3】 求函数$y=\frac{-2}{x+1}-\sqrt{1-x}$的定义域。
反思
1.如果$f(x)$是整式,那么函数的定义域是实数集R.2.如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
3.如果$f(x)$是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
4.如果$f(x)$是由几个部分构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).
5.对于由实际背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
【变式训练3】求下列函数的定义域
（1）$y=\frac{3}{1-\sqrt{1-x}}$
（2）$y=\frac{(x+1)^{0}}{|x|-x}$
题型4、判断函数相等
【例4】 判断下列各组函数是不是相等函数:（1）$f(x)=x+2$，$g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$
（2）$f(x)=(x-1)^{2}$,$g(x)=x-1$;
（3）$f(x)=x^{2}+x+1$,$g(t)=t^{2}+t+1$.
反思
判断两个函数$f(x)$和$g(x)$是否相等的方法是:先求函数$f(x)$和$g(x)$的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等,如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们相等,否则它们不相等.【变式训练4】 试判断以下各组函数是否表示同一函数:
(1)$f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}$
(2)$f(x)=(\sqrt{\mathrm{x}})^{2}, g(x)=\sqrt{\mathrm{x}^{2}}$
(3)$y=x^{0}, y=1(x \neq 0)$;
(4)$y=\frac{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}}{\mathrm{x}}, y=x+1$.
题型五、易混易错题
易错点 求函数的定义域时,先化简函数的关系式
【例5】 求函数$y=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+3)}$的定义域
【变式训练5】 已知下列说法:
①函数$y=\frac{x^{2}}{x}$相等;②函数$y=\frac{x^{2}-4}{x+2}$的定义域为R;③函数$y=\sqrt{x^{2}}-x$的值域为0.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
