高中数学网集合的概念
2.掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“?”来表示.
3.掌握列举法和描述法,会选择不同的方法表示集合,记住常用数集的符号
1.集合的概念
(1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
(2)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,即这两个集合中的元素完全相同,就称这两个集合相等.名师点拨集合中的元素必须满足如下性质:
(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的,要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.
(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的,比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合.【做一做1】 下列能构成集合的是( )
A.中央电视台著名节目主持人
B.不超过20的非负数
C.班级中的优秀学生
D.世界上的高楼2.元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A
a∈A
a属于
集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A
a?A
a不属于
集合A
归纳总结：
1.对任意的元素a与集合A,在“a∈A”与“a?A”这两种情况中,必有一种且只有一种成立.
2.符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
【做一做2】 设M是所有偶数组成的集合,则( )
A.3∈M B.1∈M
C.2∈M D.2?M
3.集合的表示法
(1)自然语言表示法:用文字语言形式来表示集合的方法.例如:小于3的实数组成的集合.
(2)字母表示法:用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,用小写拉丁字母表示元素,如a,b,c等.常用数集的表示:
名称
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
(3)列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
名师点拨1.对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法.
2.用列举法表示集合时,元素之间用“,”而不是用“、”隔开.
(4)描述法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.
【做一做3-1】 下列关系中,正确的个数为( )
①$\frac{1}{2}$∈R;②$\sqrt{2}$?Q;③$\left | 3 \right |$∈N;④-$\sqrt{4}$∈Z.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
【做一做3-2】 已知集合A={x|x-1=0},用列举法表示集合A=______.
解析:由题意可知A是方程x-1=0的解集.解方程x-1=0,得x=1,则A={1}.
1.对集合中元素确定性的理解
剖析:教材中指出,把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,可理解为:研究对象就是构成集合的每个对象,即元素.一个对象是不是我们研究的对象(元素),其结果是明确的、确定的,只有两种结果:是或不是.因此,给定一个集合,任意一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,二者必居其一.例如,如果你是班内的文艺委员,让爱好唱歌的同学到音乐教室开会,那么可能会出现:你认为爱好唱歌的同学没有去,而你认为不爱好唱歌的同学反而去了,出现这种情况的原因是没有明确的标准来判断一名同学是否爱好唱歌.因此“爱好唱歌的同学”所指的对象不明确,不能构成一个集合.2.点集的表示
剖析:在数学中,平面直角坐标系中的点通常用坐标(x,y)来表示.因此用列举法表示点集时,常写成$ {(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),…}$.用描述法表示点集时,由于其中元素的代表符号是(x,y),则常写成{(x,y)|x,y的特征,x,y∈R}.例如集合{(x,y)|y=x+1}表示函数y=x+1图象上所有点组成的集合.
题型一、判断元素与集合的关系
【例1】 已知集合A={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.-1?A
【变式训练1】 已知集合A={x|x-a < 0},若3∈A,则下列各式一定正确的是( )
A.0?A B.1?A C.2∈A D.4∈A
题型二、集合中元素互异性的应用
【例2】 含有两个实数的集合A可以表示为{a-3,2a-1},求实数a满足的条件.
【变式训练2】 已知集合A中含有两个元素a和$a^{2}$,若1∈A,则实数a的值为_____.
题型三、用列举法表示集合
【例3】 用列举法表示下列集合:
(1)小于1 000的所有自然数组成的集合;
(2)方程$x^{2}=1$的实数根组成的集合;
(3)全体负整数组成的集合.
【变式训练3】 用列举法表示下列集合:
(1)“rooftop”中所有字母组成的集合;
(2)直线y=x+1与y轴的交点组成的集合.
题型四、用描述法表示集合
【例4】 用描述法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)平面直角坐标系内,两个坐标轴上的点组成的集合;
(3)所有矩形组成的集合.
【变式训练4】 用描述法表示下列集合:
(1)由不等式x+1>0的所有实数解组成的集合;
(2)直线y=x上去掉原点的点组成的集合.
题型五、易混易错题
易错点 集合中元素的互异性
【例5】 用列举法写出关于x的方程$x^{2}-(a+1)x+a=0$的解集.
【变式训练5】 已知集合A={0,1,2},B={2,3},则集合C={z|z=x-y,x∈A,y∈B}中所有元素之和为( )
A.-9 B.-8 C.-7 D.-6
