高中数学网空间中直线与直线之间的位置关系
2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两条直线垂直的含义.
3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.
1.异面直线
(1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
(2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托.
【做一做1】 如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,与$A A_{1}$异面的棱是( )
A.$A B$ B.$B B_{1}$
C.$D D_{1}$ D.$B_{1} C_{1}$
2.空间两条直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交
在同一平面内
1
平行
在同一平面内
0
异面
不同在任何一个平面内
0
名师点拨1.若无特别说明,本书中的两条直线均指不重合的两条直线.
2.空间两条直线的位置关系
空间两条直线【共面（相交、平行）、异面】
【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.相交或异面
3.公理4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线互相平行
图形语言
符号语言
直线$a, b, c$,且$a / / b, b / / c \Rightarrow a / / c$
作用
证明两条直线平行
说明
公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性
【做一做3】 如图,在正方体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$中,$E, F, E^{\prime}, F^{\prime}$分别是$A B, B C, A^{\prime} B^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}$的中点,求证:$E E^{\prime} / / F F^{\prime}$.
4.等角定理
文字
语言
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
图形
语言
符号
语言
$O A / / O^{\prime} A^{\prime}, O B / / O^{\prime} B^{\prime} \Rightarrow \angle A O B=\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}$
或$\angle A O B+\angle A^{\prime} O^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}$作用
证明两个角相等或互补
归纳总结
等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,当这两个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互补.【做一做4】 已知$\angle B A C=30^{\circ}, A B / / A^{\prime} B^{\prime}, A C / / A^{\prime} C^{\prime}$,则$\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}=$( )
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.60°
5.两条异面直线所成的角(夹角)
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线$a^{\prime} / / a, b^{\prime} / / b$，我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
名师点拨在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线所成的角与a',b'所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,是通过转化为相交直线所成的角来解决的.
(2)异面直线所成的角α的范围:$0^{\circ}<\alpha \leqslant 90^{\circ}$.
(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作$a \perp b$.
【做一做5】 在长方体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$中,与棱$A A^{\prime}$垂直且异面的棱有_________.
1.对异面直线的理解
剖析:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.要注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:如果a与b是异面直线,那么在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b这两条直线.
例如,在如图所示的长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,棱$A B$和$B_{1} C_{1}$所在的直线既不平行也不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线,则$A B$和$B_{1} C_{1}$是异面直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.
有以下方法可以判断两条直线是异面直线:
(1)定义法(直观判断法):由定义判断两条直线不可能在同一个平面内.或者用下面的结论:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.
用符号语言表示为:$B \notin \alpha, A \in \alpha, a \subset \alpha, A \notin \alpha$,则a与直线AB为异面直线.图形如图所示.
(2)排除法:排除两条直线共面(平行或相交),则这两条直线是异面直线.
2.作出两条异面直线所成的角
剖析:
根据异面直线所成角的定义,通常在两条异面直线中的一条直线上取一点,然后作另一条直线的平行线即可.但是,在作辅助线之前最好观察图形,看看在所给的图形中,有没有满足定义的角,如果没有,再作辅助线.
例如,在如图所示的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,直线$A B$和$B_{1} C_{1}$是异面直线.由于$A B / / A_{1} B_{1}$,则$\angle A_{1} B_{1} C_{1}$就是它们所成的角,当然$\angle A B C$也是它们所成的角;对于异面直线$A D_{1}$和$B_{1} C$来说,在图中就没有它们所成的角,这就需要作辅助线,连接$B C_{1}$交$B_{1} C$于点E,则$B C_{1} / / A D_{1}$,故$\angle C_{1} E C$是异面直线$A D_{1}$和$B_{1} C$所成的角或其补角.很明显$\triangle C_{1} E C$是等腰直角三角形,$\angle C_{1} E C=90^{\circ}$,即异面直线$A D_{1}$和$B_{1} C$所成的角为90°.
题型一、空间两条直线位置关系的判定
【例1】 已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.
反思
判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.
【变式训练1】
如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线$A_{1} B$与直线$D_{1} C$的位置关系是__________;
(2)直线$A_{1} B$与直线$B_{1} C$的位置关系是_________;
(3)直线$D_{1} D$与直线$D_{1} C$的位置关系是__________;
(4)直线$A B$与直线$B_{1} C$的位置关系是___________.
题型二、公理4的应用
【例2】 已知正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, E, F$分别为$A A_{1}, C C_{1}$的中点.求证:$B F / / E D_{1}$.
反思
证明两条直线平行的方法:(1)平行线的定义;
(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;
(3)公理4.
【变式训练2】
如图所示,P是$\triangle A B C$所在平面外一点,D,E分别是$\triangle P A B$和$\triangle P B C$的重心.求证:$D E / / A C$.
题型三、等角定理的应用
【例3】 已知E,$E_{1}$分别是正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的棱$A D, A_{1} D_{1}$的中点,求证:$\angle B E C=\angle B_{1} E_{1} C_{1}$.
反思
在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等,此时要注意观察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行.
【变式训练3】
如图,$O A, O B, O C$为不共面的三条射线,点$A_{1}, B_{1}, C_{1}$分别是$O A, O B, O C$上的点,且$\frac{O A_{1}}{O A}=\frac{O B_{1}}{O B}=\frac{O C_{1}}{O C}$成立。
求证:$\triangle A_{1} B_{1} C_{1} \sim \triangle A B C$
题型四、求两条异面直线所成的角
【例4】 如图,在空间四边形ABCD中,$A B=C D, A B \perp C D, E, F$分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角的大小.
反思
1.求两条异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出两条异面直线所成的角;
(2)证:证明作出的角就是要求的角;
(3)计算:寻找或作出含有此角的三角形,求解计算;
(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.过一点作两条异面直线所成的角时,常把这个点取在其中一条直线上的特殊位置,或是图形的特殊点,这样可方便于求这个角的大小.
3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段,是解决立体几何问题最重要的辅助线.
【变式训练4】 如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,AC与BD相交于点O,求直线$O B_{1}$与$A_{1} C_{1}$所成的角的大小.
