高中数学网平面
2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用,并能确定平面的个数.
1.平面
描述
几何里所说的"平面"是从生活中的一些物体中抽象出来的,是无限延展的
画法
通常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角画成$45^{\circ}$,且横边长等于其邻边长的2倍,如图①所示;如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,常把被遮挡部分用虚线画出来,如图②所示
记法
(1)用一个希腊字母α,β,γ等来表示平面,如上图①中的平面记为平面α
(2)用两个大写的英文字母(表示平面的平行四边形相对的两个顶点)来表示平面,如上图①中的平面记为平面AC或平面BD
(3)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的顶点)来表示平面,如上图①中的平面可记为平面ABCD
【做一做1】
如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A.平面MN B.平面NQ
C.平面α D.平面MNPQ
2.点、线、面的位置关系的表示
A是点,l,m是直线,α,β是平面.文字语言
符号语言
图形语言
点A在l上
$A \in l$
点A在l外
$A \notin l$
点A在α内
$A \in \alpha$
点A在α外
$A \notin \alpha$
l 在α内
$l \subset \alpha$
文字语言
符号语言
图形语言
l在α外
l?α
l,m相交于点A
$l \cap m=A$
l,α相交于点A
$l \cap \alpha=A$
α,β相交于l
$\alpha \cap \beta=l$
名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示;
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示;
(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“?”或“?”表示.
【做一做2-1】 若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α之间的关系可记为( )
A.M∈a,a∈α B.M∈a,a?α
C.M?a,a?α D.M?a,a∈α
【做一做2-2】 若平面α与平面β相交于直线m,则用符号语言可表示为________.
3.公理1
文字
语言
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
图形
语言
符号
语言
$A \in l, B \in l$,且$A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha$
作用
(1)判断点在平面内
(2)判断直线在平面内
(3)用直线检验平面
名师点拨公理1的内容反映了直线与平面的位置关系.“线上两点在平面内”是公理的条件,结论是“线上所有点都在平面内”.从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集.
【做一做3】 已知直线m?平面α,点P?m,点Q∈m,则 ( )
A.P?α,Q∈α B.P∈α,Q?α C.P?α,Q?α D.Q∈α
4.公理2
文字
语言
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
图形
语言
符号
语言
A,B,C三点不共线$\Rightarrow$有且只有一个平面α,使$A \in \alpha, B \in \alpha, C \in \alpha$
作用
(1)确定平面
(2)证明点共面
名师点拨1.公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”,结论是“有且只有一个平面”.
2.公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,强调的是存在和唯一两个方面,因此“有且只有一个”必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替,否则就没有表达出存在性.
【做一做4】 三点可确定平面的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.1或无数个
5.公理3
文字
语言
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形
语言
符号
语言
$P \in \alpha$；且$P \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=l$,且$P \in l$
作用
(1)判定平面相交
(2)证明点共线
(3)证明线共点
【做一做5】 如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )
A.没有其他公共点
B.仅有三个公共点
C.仅有两个公共点
D.有无数个公共点
1.对平面的理解
剖析:几何中的平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念.生活中的平面是比较平整、有限的;而几何中所说的平面是从生活中常见的物体中抽象、概括出来的,是理想的、绝对平整的、无限延伸的.几何中的平面无大小、厚薄之分,是不可度量的,可以向四周无限延伸.总结起来,平面应具有如下特点:
(1)平面是平的;
(2)平面是没有厚度的;
(3)平面是无限延展且没有边界的;
(4)平面是由空间点、线组成的无限集合;
(5)平面图形是空间图形的重要组成部分.
生活中的一些物体通常呈平面形状,如课桌面、黑板面等都给我们以平面的形象.这种借助于实例引入平面的概念是必要的,对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延伸性来理解.
2.公理2的推论
剖析:由公理2可以得到三个推论,如下表.
语言
形式
推论1
推论2
推论3
文字
语言
经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
经过两条相交直线有且只有一个平面
经过两条平行直线有且只有一个平面
一条直线和其外一点确定一个平面
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
图形
语言
符号
语言
$A \notin a \Rightarrow$有且只有一个平面α使$A \in \alpha, a \subset \alpha$
$a \cap b=P \Rightarrow$有且只有一个平面$\alpha$,使$a \subset \alpha, b \subset \alpha$
$a / / b \Rightarrow$有且只有一个平面α,使$a \subset \alpha, b \subset \alpha$
下面仅证明推论2,另两个推论请你试着证明.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
已知:P是点,a,b是直线,且a∩b=P.
求证:经过直线a,b有且只有一个平面.
证明:①如图,在直线a,b上分别取与点P不同的点A和点B,则A,B,P是不共线的三点,则过这三点有且只有一个平面α.
所以A∈a,P∈a,A∈α,P∈α,
即a?α.
同理,b?α.所以平面α是经过直线a,b的一个平面.
②假设经过直线a,b还有一个平面β,那么A,B,P三点也一定在平面β内.这样过不共线的三点A,B,P就有两个平面α和β,这与公理2矛盾.
所以经过相交直线a,b只有一个平面α.
由①和②,知经过直线a,b有且只有一个平面.
这三个推论与公理2的作用相同,都是确定平面的依据.
3.对公理3的理解
剖析:(1)如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线;
(2)如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;
(3)如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.
题型一、三种语言的转换
【例1】 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;
(2)平面ABD与平面BCD相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
反思
1.用文字语言、符号语言表示图形中的点、线、面的位置关系时,先辨别图形中有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系,再用符号语言或文字语言表示.2.要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
3.由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
【变式训练1】 用文字语言和符号语言表示下图.
题型二、公理的简单应用
【例2】 如图,已知α∩β=l,梯形ABCD的两底为AD,BC,且满足AB?α,CD?β,求证:AB,CD,l交于一点.
反思
1.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他的直线上,而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.2.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点;或先由某两点作一条直线,再证明其他点也在这条直线上.
3.证明点、线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;或先由部分点线确定一个平面,再由其他点线确定另外的平面,然后证明这些平面重合.
【变式训练2】
已知直线l与四边形ABCD的三边AB,AD,CD所在的直线分别相交于点E,F,G.求证:四边形ABCD是平面四边形.
