平面与平面垂直的判定

时间:2019/9/9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解二面角及其平面角的概念.
2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.
3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直的问题.
知识点
  • 1.二面角

    概念

    平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面

    图示

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    记法

    棱为l,面分别为$\alpha, \beta$的二面角记为$\alpha-l-\beta$;.如图所示,也可在$\alpha, \beta$内(棱以外的半平面部分)分别取点$P,Q$,将这个二面角记作二面角$P-l-Q$

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    二面角

    的平

    面角

    文字

    在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角

    图示

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    符号

    $O A \subset \alpha, O B \subset \beta, \alpha \cap \beta=l,$
    $ O \in l, O A \perp l, O B \perp l \Rightarrow \angle A O B$是二面角的平面角

    范围

    $0^{\circ} \leqslant \angle A O B \leqslant 180^{\circ}$

    规定

    面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角

    名师点拨

    1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的,与选择棱上的点的位置无关.

    2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.

    【做一做1-1】 在二面角$\alpha-l-\beta$的棱$l$上任选一点$O$,若$\angle A O B$是二面角$\alpha-l-\beta$的平面角,则必须具有的条件是 (  )

    A.$A O \perp B O, A O \subset \alpha, B O \subset \beta$

    B.$A O \perp l, B O \perp l$

    C.$A B \perp l, A O \subset \alpha, B O \subset \beta$

    D.$A O \perp l, B O \perp l$,且$A O \subset \alpha, B O \subset \beta$

    【做一做1-2】 如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,不作辅助线,写出二面角$A_{1}-A B-D$的一个平面角为________.

     

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  • 2.平面与平面垂直

    (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作$\alpha \perp \beta$.

    (2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.

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    (3)判定定理


    文字

    语言

    一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

    图形

    语言

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    符号

    语言

    $l \perp \alpha, l \subset \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta$

    作用

    判断两个平面垂直

    名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.

    【做一做2-1】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的六个面中,与平面$ABCD$垂直的面的个数是(  )

    A.1  B.2   C.3  D.4

    【做一做2-2】 如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,求证:平面$A B C D \perp$平面$B D D_{1} B_{1}$.

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重难点
  • 1.理解二面角及其平面角

    剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.

    (2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是$0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 180^{\circ}$.

    (3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补.

  • 2.处理翻折问题的关键

    剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆不清.

    例如:在正三角形$ABC$中,$E,F,P$分别是$AB,AC,BC$边上的点,满足$A E : E B=C F : F A=C P : P B=1 : 2$,如图①.将$\triangle A E F$沿$EF$折起到$\triangle A_{1} E F$的位置,使二面角$A_{1}-E F-B$成直二面角,连接$A_{1} B, A_{1} P, E F$,如图②.下面探讨平面$B A_{1} E$是否与平面$BEP$垂直.

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    根据图①,由平面几何的知识,可得$E F \perp A E, E F \perp B E$.在图②中,这两个位置关系没有变化,而点$A,B,E$的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,但是翻折后不共线.不妨设正三角形$ABC$的边长为3,则在图③中,取$BE$的中点$D$,连接$DF$.


    因为$A E : E B=C F : F A=1 : 2$,所以$A F=A D=2$.

    而$\angle A=60^{\circ}$,所以$\triangle A D F$为正三角形.

    又$A E=D E=1$,

    所以$E F \perp A D$.则在图②中,$A_{1} E \perp E F, B E \perp E F$,

    所以$\angle A_{1} E B$为二面角$A_{1}-E F-B$的一个平面角.

    所以$\angle A_{1} E B=90^{\circ}$.所以$A_{1} E \perp B E$.

    又$B E \cap E F=E$,所以$A_{1} E \perp$平面$BEP$.

    因为$A_{1} E \subset$平面$B A_{1} E$,所以平面$B A_{1} E$⊥平面$BEP$.

例题解析
  • 题型一、二面角的定义

    【例1】 如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,找出二面角$D_{1}-B C-D$的平面角.

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    【变式训练1】

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    如图,在四棱锥$V-ABCD$中,底面$ABCD$是正方形,其他四个侧面都是等腰三角形,找出二面角$V-AB-C$的平面角.

  • 题型二、证明两个平面垂直

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    【例2】 如图,把等腰直角三角形$ABC$沿斜边$AB$旋转至$\triangle A B D$的位置,使$CD=AC$,求证:平面$ABD$⊥平面$ABC$.

    反思

    1.证明平面与平面垂直的方法有两个:

    (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角;

    (2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.

    2.根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证明面面垂直,只需要证明线面垂直.其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直.

    【变式训练2】

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    如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,$A B=A D=1, A A_{1}=2, M$是棱$C C_{1}$的中点.

    求证:平面$A B M \perp$平面$A_{1} B_{1} M$.

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