平面与平面垂直的性质
2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系.
3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.
平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
图形语言
符号语言
作用
证明直线与平面垂直
【做一做】 如图,在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的棱$AB$上任取一点$E$,作$E F \perp A_{1} B_{1}$于点$F$,则$EF$与平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的关系是( )
A.平行
B.$E F \subset$ 平面$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
1.理解平面与平面垂直的性质定理
剖析:
(1)定理成立的条件有三个:①两个平面互相垂直;
②直线在其中一个平面内;
③直线与两个平面的交线垂直.
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直.
(3)若两个平面垂直,过其中一个平面内一点垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内.
2.线线垂直、线面垂直和面面垂直之间的关系
剖析:线面垂直是线线垂直和面面垂直的纽带.对于面面垂直的判定和性质定理,可借助于长方体进行抽象概括.首先由线面垂直的定义可知,若线面垂直,则线和面内任意直线都垂直;根据线面垂直的判定定理,若直线垂直于平面内的两条相交直线,则线面垂直;然后根据面面垂直的判定定理,若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,我们可以简记为“线面垂直,则面面垂直”;同样根据面面垂直的性质定理,我们还可证得,若面面垂直,则线面垂直.
由上可得,利用线面垂直,可以证明线线垂直,也可以实现面面垂直的证明.因此,我们可以说线面垂直是线线垂直、面面垂直的纽带,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的相互转化.
题型一、性质定理的应用
【例1】 如图,在四棱锥$S-ABCD$中,底面$ABCD$是矩形,侧面$S D C \perp$底面$ABCD$,求证:平面$S D C \perp$平面$SBC$.
反思
若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理时,要注意定理成立的三个条件.
【变式训练1】 如图,在三棱锥$P-ABC$中,$P A \perp$平面$ABC$,平面$P A B \perp$平面$PBC$.求证:$B C \perp A B$.
题型二、计算问题
如图,平面$\alpha \perp$平面β,在α与β的交线$l$上取线段$AB=4 cm,AC,BD$分别在平面α和平面β内,$A C \perp I, B D \perp I, A C=3 \mathrm{cm}, B D=12 \mathrm{cm}$,求线段$CD$的长.
反思
在空间中求线段长度的问题一般转化到三角形中求解,如果已知垂直关系较多,通常最终转化为线线垂直,即在直角三角形中求线段长度.
【变式训练2】 若构成教室墙角的三个墙面分别记为$\alpha, \beta, \gamma$,交线分别记为$BA,BC,BD$,教室内一点$P$到三墙面$\alpha, \beta, \gamma$的距离分别为$3 m,4 m,1 m$,则点$P$与墙角$B$的距离为_________m.