高中数学网fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
2.会求fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,能够判断点与fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系.
1.fun88网上娱乐网上娱乐
基本
要素
当fun88网上娱乐网上娱乐心位置与半径大小确定后,fun88网上娱乐网上娱乐就唯一确定了.因此,确定一个fun88网上娱乐网上娱乐最基本要素是fun88网上娱乐网上娱乐心和半径
标准
方程
fun88网上娱乐网上娱乐心为$C(a, b)$,半径为$r$的fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程是$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
图示
说明
若点$M(x, y)$在fun88网上娱乐网上娱乐$C$上,则点$M$的坐标适合方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$;反之,若点$M(x, y)$的坐标适合方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,则点M在fun88网上娱乐网上娱乐C上
名师点拨1.由fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,可直接得到fun88网上娱乐网上娱乐心和半径;给出fun88网上娱乐网上娱乐心和半径,也可直接写出fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
2.fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$中,有三个参数$a,b,r$,其中$(a,b)$为fun88网上娱乐网上娱乐心,$r$为半径.结合fun88网上娱乐网上娱乐的定义可知,fun88网上娱乐网上娱乐心$(a,b)$在确定fun88网上娱乐网上娱乐时起到定位作用,即影响fun88网上娱乐网上娱乐的位置;而半径$r$在确定fun88网上娱乐网上娱乐时起到定形作用,即影响fun88网上娱乐网上娱乐的大小.
【做一做1-1】 fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+y^{2}=1$的fun88网上娱乐网上娱乐心坐标为( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,1) D.(1,0)
【做一做1-2】 fun88网上娱乐网上娱乐$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=2$的半径为( )
A.1 B.$\sqrt{2}$ C.2 D.4
2.点与fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系
fun88网上娱乐网上娱乐$C :(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0)$,其fun88网上娱乐网上娱乐心为$C(a, b)$,半径为$r$,点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,设$d=|P C|=\sqrt{\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}}$
位置关系
$d$与$r$
的大小
图示
点P的坐标的特点
点在fun88网上娱乐网上娱乐外
$d > r$
$\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}>r^{2}$
点在fun88网上娱乐网上娱乐上
$d=r$
$\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2}=r^{2}$
点在fun88网上娱乐网上娱乐内
$d < r$
$\left(x_{0}-a\right)^{2}+\left(y_{0}-b\right)^{2} < r^{2}$
【做一做2 】 已知fun88网上娱乐网上娱乐$C :(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4$,点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$在fun88网上娱乐网上娱乐$C$的内部,且$d=\left(x_{0}-1\right)^{2}+\left(y_{0}+2\right)^{2}$,则有( )
A.$d>2$ B.$0 \leqslant d < 2$ C. $d>4$ D.$0 \leqslant d < 4$
1.特殊位置的fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
剖析:如下表所示.
条件
方程形式
fun88网上娱乐网上娱乐过原点
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2}$
$\left(a^{2}+b^{2} \neq 0\right)$fun88网上娱乐网上娱乐心在$x$轴上
$(x-a)^{2}+y^{2}=r^{2}(r \neq 0)$
fun88网上娱乐网上娱乐心在$y$轴上
$x^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r \neq 0)$
fun88网上娱乐网上娱乐心在原点
$x^{2}+y^{2}=r^{2}(r \neq 0)$
2.fun88网上娱乐网上娱乐不是函数的图象
剖析根据函数的知识,对于平面直角坐标系中某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象;否则,不是函数的图象.在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线与fun88网上娱乐网上娱乐至多有两个交点,因此fun88网上娱乐网上娱乐不是函数的图象.但是存在图象是fun88网上娱乐网上娱乐弧形状的函数.例如,函数$y=b+\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}(r>0)$的图象是以$(a,b)$为fun88网上娱乐网上娱乐心,半径为$r$,位于直线$y=b$上方的半fun88网上娱乐网上娱乐;函数$\sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}(r>0)$的图象是以$(a,b)$为fun88网上娱乐网上娱乐心,半径为$r$,位于直线$y=b$下方的半fun88网上娱乐网上娱乐.
函数和fun88网上娱乐网上娱乐的联系,丰富了函数概念的内涵,又对fun88网上娱乐网上娱乐赋予了代数意义.因此,可以用函数来研究平面几何问题,反过来也可以用平面几何研究函数问题,这充分揭示了数和形的密切联系,体现了数形结合的完美统一.
题型一、判断点与fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系
【例1】 已知fun88网上娱乐网上娱乐$C :(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=10$,试判断点$M(6,9), N(3,3), Q(5,3)$与fun88网上娱乐网上娱乐$C$的位置关系.
反思
判断点与fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系,可以判断该点与fun88网上娱乐网上娱乐心间的距离和fun88网上娱乐网上娱乐的半径的大小关系;也可将该点的坐标代入fun88网上娱乐网上娱乐的方程判断.
【变式训练1】 已知点$A(1,2)$在fun88网上娱乐网上娱乐$C :(x-a)^{2}+(y+a)^{2}=2 a^{2}$的内部,求实数$a$的取值范围.
题型二、求fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
【例2】 求经过$A(6,5), B(0,1)$两点,并且fun88网上娱乐网上娱乐心$C$在直线$l : 3 x+10 y+9=0$上的fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.反思
求fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程的方法:
(1)直接法求fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程的策略:
①确定fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程只需确定fun88网上娱乐网上娱乐心的坐标和半径,因此用直接法求fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程时,一般先从确定fun88网上娱乐网上娱乐的两个要素入手,即先求出fun88网上娱乐网上娱乐心的坐标和半径,再写出fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
②确定fun88网上娱乐网上娱乐心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过fun88网上娱乐网上娱乐心”“两条弦的中垂线的交点为fun88网上娱乐网上娱乐心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程为$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0)$;
②由条件列方程(组)解得$a,b,r$的值;
③写出fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
【变式训练2】 求下列fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程:
(1)fun88网上娱乐网上娱乐心在原点,半径是2;
(2)fun88网上娱乐网上娱乐心在点(2,-1),且过原点;
(3)fun88网上娱乐网上娱乐心在y轴上,半径为1,且过点(1,2).
题型三、fun88网上娱乐网上娱乐上的点与一定点的距离的最值
【例3】 已知x,y满足$x^{2}+(y+4)^{2}=4$,求$\sqrt{(x+1)^{2}+(y+1)^{2}}$的最大值与最小值。
反思
形如$(x-m)^{2}+(y-n)^{2}$形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题,体现了转化思想.
【变式训练3】 已知实数$x,y$满足$(x-2)^{2}+y^{2}=9$,求$x^{2}+y^{2}$的最大值和最小值.
题型四、易错辨析
易错点:不理解fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程而致错
【例4】 已知fun88网上娱乐网上娱乐$C :(x-5)^{2}+(y+1)^{2}=3$,则fun88网上娱乐网上娱乐C的周长等于_______.
