fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程
2.能进行fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程和标准方程的互化.
3.会求fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程以及简单的轨迹方程.
1.fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程
(1)方程:当$D^{2}+E^{2}-4 F>0$时,方程$x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$叫做fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程,其中fun88网上娱乐网上娱乐心为$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$,半径为.
(2)说明:方程$x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$不一定表示fun88网上娱乐网上娱乐.当且仅当$D^{2}+E^{2}-4 F>0$时,表示fun88网上娱乐网上娱乐;当$D^{2}+E^{2}-4 F=0$时,表示一个点$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$;当$D^{2}+E^{2}-4 F < 0$时,不表示任何图形.
(3)用“待定系数法”求fun88网上娱乐网上娱乐的方程的大致步骤:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于$a,b,r$或$D,E,F$的方程组;
③解出$a,b,r$或$D,E,F$,代入标准方程或一般方程.
归纳总结
1.fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程的特点:
(1)$x^{2}, y^{2}$项的系数相等且不为零(如果$x^{2}, y^{2}$项的系数为不是1的非零常数,只需在方程两边同时除以这个数,系数就可变为1);
(2)没有$x y$项;
(3)$D^{2}+E^{2}-4 F>0$.
2.关于$x,y$的二元二次方程$A x^{2}+B y^{2}+C x y+D x+E y+F=0$表示fun88网上娱乐网上娱乐的条件是:
(1)$A=B \neq 0$;(2)$C=0$;(3)$D^{2}+E^{2}-4 A F>0$.
【做一做1-1】 fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+y^{2}-2 x+4 y=0$的fun88网上娱乐网上娱乐心坐标是 ( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(-1,2) D.(-1,-2)
【做一做1-2】 fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+y^{2}-6 x+8 y=0$的半径等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.25
2.轨迹方程
点$M$的坐标$(x,y)$满足的关系式称为点$M$的轨迹方程.
知识拓展
当动点$M$的变化是由点$P$的变化引起的,并且点$P$在某一曲线$C$上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动点$M$的轨迹方程,其步骤是:(1)设动点$M(x,y)$;(2)用点$M$的坐标来表示点$P$的坐标;(3)将所得点$P$的坐标代入曲线$C$的方程,即得动点$M$的轨迹方程.
【做一做2】 已知点$P\left(x_{0}, y_{0}\right)$是fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+y^{2}=4$上的动点,点$M$是$OP(O$是原点)的中点,则动点$M$的轨迹方程是_______.
1.fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程和一般方程的对比
剖析:
(1)由fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(r>0)$,可以直接看出fun88网上娱乐网上娱乐心坐标$(a, b)$和半径$r$,fun88网上娱乐网上娱乐的几何特征明显.
(2)由fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程$x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$
$\left(D^{2}+E^{2}-4 F>0\right)$,知道fun88网上娱乐网上娱乐的方程是一种特殊的二元二次方程,fun88网上娱乐网上娱乐的代数特征明显.(3)相互转化,如图所示.
2.由fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程判断点与fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系
剖析:已知点$M\left(x_{0}, y_{0}\right)$和fun88网上娱乐网上娱乐的方程$x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$
$\left(D^{2}+E^{2}-4 F>0\right)$,则其位置关系如下表:位置关系
代数关系
点$M$在fun88网上娱乐网上娱乐外
$\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{y}_{0}^{2}+D x 0+E y 0+F>0$
点$M$在fun88网上娱乐网上娱乐上
$\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{y}_{0}^{2}+D x 0+E y 0+F=0$
点$M$在fun88网上娱乐网上娱乐内
$\mathrm{x}_{0}^{2}+\mathrm{y}_{0}^{2}+D x 0+E y 0+F < 0$
题型一、fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程的概念辨析
【例1】 判断关于$x,y$的方程$x^{2}+y^{2}-4 m x+2 m y+20 m-20=0$能否表示fun88网上娱乐网上娱乐,若能表示fun88网上娱乐网上娱乐,求出fun88网上娱乐网上娱乐心坐标和半径.【变式训练1】 若关于$x,y$的方程$x^{2}+y^{2}+2 m x-2 y+m^{2}+5 m=0$表示fun88网上娱乐网上娱乐.求:(1)实数$m$的取值范围;
(2)fun88网上娱乐网上娱乐心坐标和半径.
题型二、求fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程
【例2】 已知$A(2,2), B(5,3), C(3,-1)$,求$\triangle A B C$外接fun88网上娱乐网上娱乐的方程.
反思
当给出的条件与fun88网上娱乐网上娱乐心坐标、半径有关,或者由已知条件容易求得fun88网上娱乐网上娱乐心坐标和半径时,一般用fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程比较方便;否则,用fun88网上娱乐网上娱乐的一般方程较好,特别是当给出fun88网上娱乐网上娱乐上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于$D,E,F$的三元一次方程组,这比用fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程简便得多.
【变式训练2】 求fun88网上娱乐网上娱乐心在直线$l : 2 x-y-3=0$上,且过点$A(5,2)$和点$B(3,-2)$的fun88网上娱乐网上娱乐的方程.
题型三、求轨迹方程
【例3】 等腰三角形的顶点是$A(4,2)$,底边一个端点是$B(3,5)$,求另一个端点$C$的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
反思
1.求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法:根据题目条件,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.
(2)定义法:动点的运动轨迹符合fun88网上娱乐网上娱乐的定义时,可利用fun88网上娱乐网上娱乐的定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法:若动点$P(x, y)$依赖于某fun88网上娱乐网上娱乐上的一个动点$Q\left(x_{1}, y_{1}\right)$而运动,先把$x_{1}, y_{1}$用$x,y$表示,再将点$Q$的坐标代入到已知fun88网上娱乐网上娱乐的方程中,得出点$P$的轨迹方程.
2.求曲线的轨迹方程要注意以下三点:
(1)根据题目条件,选用适当的求轨迹方程的方法.
(2)看准是求轨迹,还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形).
(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点.
【变式训练3】 已知点$A(-1,1),B(3,3)$是fun88网上娱乐网上娱乐$C$的一条直径的两个端点,又点$M$在fun88网上娱乐网上娱乐$C$上运动,点$N(4,-2)$,求线段$MN$的中点P的轨迹方程.