均匀随机数的产生
2.会利用随机模拟试验估计几何概型的概率.
均匀随机数
(1)产生方法:方法一,利用几何概型产生;方法二,用转盘产生;方法三,用_____或_____产生.
(2)应用:利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计_____的概率.
【做一做】 下列关于用转盘进行随机模拟的说法正确的是( )
A.旋转次数的多少不会影响估计的结果
B.旋转次数越多,估计的结果越精确
C.旋转时可以按规律旋转
D.转盘的半径越大,估计的结果越精确
答案:B
1.均匀随机数的产生
剖析:均匀随机数的产生和整数值随机数的产生办法基本相同,都可以采用计算器和Excel软件产生,只是具体操作时所用的函数略有不同.下面以产生$[0,1]$之间的均匀随机数为例来说明这种随机数的产生方法.
(1)计算器法.
要产生$[0,1]$之间的均匀随机数的具体操作如下:
(2)计算机法.
首先打开Excel软件,在想要产生随机数的第一个单元格中输入“$=\mathrm{rand}( )$)”,再按Enter键,这时就在此单元格中产生了一个$[0,1]$之间的均匀随机数,选中此单元格“复制”,再点选其他单元格中的一个,拖动鼠标直到最后一个单元格,执行“粘贴”操作,这时就得到了若干个$[0,1]$之间的均匀随机数.
2.产生$[a, b]$范围的均匀随机数
剖析:我们知道rand()函数可以产生$[0,1]$]范围内的均匀随机数,但事实上我们需要用到的随机数的范围是各种各样的,下面就介绍如何将$[0,1]$范围内的随机数转化为$[a, b]$之间的随机数.
初探:先利用计算器或计算机产生$[0,1]$内的均匀随机数$a_{1}$,因为0$\leqslant a_{1} \leqslant 1$,且$b-a>0$,所以$0 \leqslant a_{1}(b-a) \leqslant b-a$,所以$a \leqslant a_{1}(b-a)+a \leq b$.
探究结果:表示$[a, b]$之间的均匀随机数.
特例:若0$\leqslant a_{1} \leqslant 1$,则$-0.5 \leqslant a_{1}-0.5 \leqslant 0.5$,即$-1 \leqslant 2\left(a_{1}-0.5\right) \leqslant 1$.所以当我们需要$[-1,1]$范围内的均匀随机数时,可以采用,也可以采用来产生.
估计几何概型的概率
【例1】 解放军某部队进行特种兵跳伞演习,如图,在长为16 $\mathrm{m}$,宽为14 $\mathrm{m}$的矩形内有大、中、小三个同心fun88网上娱乐,其半径分别为5 $\mathrm{m}$、2 $\mathrm{m}$、1 $\mathrm{m}$.若着陆点在fun88网上娱乐环$B$内,则跳伞成绩为合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;若跳伞者的着陆点在小fun88网上娱乐$A$内,则跳伞成绩为优秀;否则为不合格.若一位特种兵随意跳下,假设他的着陆点在矩形内,利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.
反思
用随机模拟方法估计几何概型的步骤:(1)确定需要产生随机数的组数,如长度型只用一组,面积型需要两组;(2)由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围;(3)由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式;(4)统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率.
【变式训练1】 取一根长度为5 $\mathrm{m}$的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 $\mathrm{m}$的概率.
估计不规则图形的面积
【例2】 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线$y=2^{x}$与$x$轴、$x=\pm 1$所围成的部分)的面积.
分析:利用坐标系中的正方形,用随机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方形的面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.
反思
利用随机模拟方法估计图形面积的步骤是:(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形(长方形或fun88网上娱乐等)的一部分,并用阴影表示;(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,
求出落在阴影部分的概率$P(A) \approx \frac{N_{1}}{N}$;(3)设阴影部分的面积是$S$,规则图形的面积是$S^{\prime}$,则有$\frac{S}{S^{\prime}} \approx \frac{N_{1}}{N}$,解得$S \approx \frac{N_{1}}{N} S^{\prime}$,则所求图形面积的近
似值为$\frac{N_{1}}{N} S^{\prime}$.
【变式训练2】 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分($y=2-2 x-x^{2}$与$x$轴围成的图形)的面积.