高中数学网系统抽样
2.会利用系统抽样抽取样本.
系统抽样
(1)定义:一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成_____的若干部分,然后按照预先制定的_____,从每一部分抽取_____个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样.
(2)步骤:
归纳总结
系统抽样的特征:(1)当总体中个体无差异,且个体数目较大时,采用系统抽样.
(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样,间隔一般为
$k=\left[\frac{N}{n}\right]\left(\left[\frac{N}{n}\right]\right.$表示不超过" $\frac{N}{n}$ "的最大整数" )
(3)预先制定的规则指的是:在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.
(4)在每段上仅抽一个个体,所分的组数(即段数)等于样本容量.
(5)在第一步编号中,有时可直接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号等,不再重新编号.
【做一做】 为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间隔k为( )
A.40 B.30 C.20 D.12
答案:A
1.系统抽样和简单随机抽样的区别与联系
剖析:如表所示.
区别
样本号码
无规律
按从小到大排列,从第2个号码起,每一个号码与前一个号码的差是同一个常数(分段间隔$k$)
适用范围
总体容量较小
总体容量较大
联系
系统抽样中要用到简单随机抽样
总体中每个个体被抽到的可能性相等
不放回抽样
2.系统抽样中的合理分段问题
剖析:系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡的若干部分,再按照预先制定的规则,从每一部分中抽取1个个体,从而得到所需的样本.由于抽样的间隔相等,所以系统抽样中必须对总体中的个体进行合理(即等距)分段.
(1)若从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用系统抽样时,应先将总体中的各个个体编号,再确定分段间隔k,以便对总体进行分段.
(2)当$\frac{N}{n}$ 是整数时,取$k=\frac{N}{n}$ 作为分段间隔即可,如$N=100$,$n=20$,则分段间隔$k=\frac{100}{20}=5$.也就是将100个个体按平均每5个为1段(组)进行分段(组);
(3)当 $\frac{N}{n}$不是整数时,应先从总体中随机剔除一些个体,使剩余个体数$N^{\prime}$能被n整除,这时分段间隔$k=\frac{N^{\prime}}{n}$,如$N=101$,$n=20$,则应先用简单随机抽样从总体中剔除1个个体,使剩余的总体容量(即100)能被20整除,从而得出分段间隔$k=\frac{100}{20}=5$,也就是说,只需将100个个体平均分为20段(组).
(4)一般地,用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体,其个数为总体中的个体数除以样本容量所得的余数.
系统抽样的基本概念
【例1】 下列问题中,最适合用系统抽样抽取样本的是( )
A.从10名学生中,随机抽取2名学生参加义务劳动
B.从全校3 000名学生中,随机抽取100名学生参加义务劳动
C.某市有30 000名学生,其中小学生有14 000人,初中生有10 000人,高中生有6 000人,从中抽取300名学生以了解该市学生的近视情况
D.从某班周二值日小组6人中,随机抽取1人擦黑板
反思
判断一种抽样是不是系统抽样,首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的,抽样方法能否保证每个个体按事先规定的可能性入样,然后看是否将总体分成几个均衡的部分,并在第一个部分中进行简单随机抽样.【变式训练1】 某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额.采取如下方法:从某本发票的存根中随机抽一张,如15号,然后按顺序往后将65号,115号,165号,…抽出,发票上的销售额组成一个调查样本.这样抽取样本的方法是( )
A.抽签法 B.随机数法
C.系统抽样法 D.其他的抽样方法
系统抽样的设计
【例2】 某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按1∶5的比例抽取一个样本.请用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.
分析:按1∶5的比例确定样本容量,再按系统抽样的步骤进行,关键是确定第1段的编号.
反思
解决系统抽样问题的两个关键步骤为:
(1)分组的方法应依据抽取比例而定,即根据定义每组抽取一个样本.
(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定了.
【变式训练2】 一条啤酒生产线在某段时间内生产了20 000瓶啤酒,现在用抽样的方法从中抽取100瓶检查质量等级,假设啤酒在这段时间内是均匀生产出来的,简述如何应用系统抽样方法获取样本.
系统抽样的应用
【例3】 采用系统抽样法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为$1,2, \cdots, 960$,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间$[1,450]$的人做问卷$A$,编号落入区间$[451,750]$的人做问卷$B$,其余的人做问卷$C$.则抽到的人中,做问卷$C$的人数为( )
$A$.7 $B$.9
$C$.10 $D$.15
反思
用系统抽样的方法从容量为$N$的总体中抽取容量为$n$的样本时,需对总体进行分段,分段的关键是确定分段间隔$k$.
【变式训练3】 若总体中含有1 600个个体,现在要采用系统抽样从中抽取一个容量为50的样本,总体应均分为_________段,每段有_________个个体.
易错辨析
易错点:不能对总体进行合理分段
【例4】 从111个总体中抽取10个个体作为样本,若用系统抽样的方法抽取,
(1)分段间隔k等于多少?
(2)每个个体被抽取的可能性相等吗?
反思
当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机剔除几个个体,但要注意的是剔除过程必须是随机的,也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除..【变式训练4】 某学校Fun88赞助年级有1 003名学生,为了解他们的视力情况,准备按1∶100的比例抽取一个样本,试用系统抽样的方法进行抽取,并写出抽样过程.
