平面向量的坐标运算

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则,能熟练进行向量的坐标运算.
2.会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标.
3.能借助向量坐标,用已知向量表示其他向量.
知识点
  • 平面向量的坐标运算

    设向量$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \lambda \in \mathbf{R}$,则有下表:

     

    文字描述

    符号表示

    加法

    两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的

    $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)$

    减法

    两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的

    $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}\right)$

    数乘

    实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

    $\lambda \mathbf{a}=\left(\lambda x_{1}, \lambda y_{1}\right)$

    向量坐标公式

    一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标

    已知$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$\overrightarrow{A B}=(x 2-x 1, y 2-y 1)$


    【做一做1】 已知$\mathbf{a}=(1,3), \mathbf{b}=(-2,1)$,则b-a等于 (  )

    A.(-3,2) B.(3,-2)

    C.(-3,-2) D.(-2,-3)

    答案:C

    【做一做2】 已知$\overrightarrow{M N}=(-1,2)$,则$-3 \overrightarrow{M N}$ ?等于(  )

    A.(-3,-3)     B.(-6,3)

    C.(3,-6)       D.(-4,-1)

    答案:C

    【做一做3】 已知$\mathbf{a}=(3,1), \mathbf{b}=(-2,5)$,则a+b等于(  )

    A.(-6,5) B.(1,6)

    C.(5,-4) D.(7,7)

    答案:B

重难点
  • 平面向量坐标运算规律

    剖析:(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.另外解题过程中要注意方程思想的运用.

    (2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.

    (3)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出待定系数.

    (4)向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算.

例题解析
  • 题型一、向量的坐标运算

    【例1】 已知$\mathbf{a}=(2,1), \mathbf{b}=(-3,4)$.求:

    (1)$\mathbf{a}+3 \mathbf{b}$;  (2)$\frac{1}{2} \mathbf{a}-\frac{1}{4} \mathbf{b}$.

    反思

    反思向量的坐标表示实质上就是用实数表示向量,因此向量的坐标运算就可以转化为实数的运算.

    【变式训练1】 已知$\mathbf{a}=(-1,2), \mathbf{b}=(2,1)$,求下列向量的坐标:$(1) 2 \mathbf{a}+3 \mathbf{b} ;(2) \mathbf{a}-3 \mathbf{b} ;(3) \frac{1}{2} \mathbf{a}-\frac{1}{3} \mathbf{b}$.

  • 题型二、用已知向量表示其他向量

    【例2】 若向量$\mathbf{a}=(1,1), \mathbf{b}=(1,-1), \mathbf{c}=(-1,2)$,试用$a,b$表示$c$.

    分析:由于条件中只给出a,b,c的坐标,故可考虑从“数”的角度出发用a,b表示c.又a,b不共线,则一定存在实数x,y使c=xa+yb,然后用向量坐标建立关于x,y的方程组求解.

    反思

    用两个已知向量a,b表示第三个向量c,一般用待定系数法,设c=xa+yb,利用相等向量的坐标分别相等,建立两个方程来解两个未知数x,y.

    【变式训练2】 (1)已知$\mathbf{a}=(10,-4), \mathbf{b}=(3,1), \mathbf{c}=(-2,3)$,试用$b,c$表示a.

    (2)已知$A(1,-2), B(2,1), C(3,2), D(-2,3)$,以$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$为一组基底来表示$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}$.

  • 题型三、求点或向量的坐标

    【例3】 已知$A(-2,4), B(3,-1), C(-3,-4)$,且$\overrightarrow{C M}=3 \overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C N}=2 \overrightarrow{C B}$,求点$M,N$及向量$\overrightarrow{M N}$的坐标.

    反思

    在关于向量的坐标运算中,求某点或向量坐标时,常用待定系数法,先设出坐标,再列方程(组)解得.本题也可直接求出点M的坐标,如$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{C M}-\overrightarrow{C O} \\ =3 \overrightarrow{C A}-\overrightarrow{C O}=(3,24)-(3,4)=(0,20)$.

    【变式训练3】 已知$\mathbf{b}=(-3,4), \mathbf{c}=(-1,1)$,且$\mathbf{a}=3 \mathbf{b}-2 \mathbf{c}$,若$\mathbf{a}=\overrightarrow{A B}$,且B(1,0),求点A的坐标.

  • 题型四、易错辨析

    易错点 忽略平行四边形顶点的不同排列顺序致错

    【例4】 设平行四边形三个顶点坐标为$A(0,0), B(0, b), C(a, c)$,求第四个顶点D的坐标.

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