平面向量基本定理
2.掌握两个向量夹角的定义以及两个向量垂直的定义.
1.平面向量基本定理
如果$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数$\lambda_{1}, \lambda_{2}$,使$\mathbf{a}=\lambda_{1} \mathbf{e}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{e}_{2}$,其中不共线的向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
名师点拨对于固定的$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$(向量$\mathbf{e}_{1}$与$\mathbf{e}_{2}$不共线)而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的,但平面内的基底却不唯一,只要平面内的两个向量不共线,就可以作为基底,它有无数组.
【做一做1】 在平面四边形MNPQ中,下列一定可以作为该平面的一组基底的是( )
A.$\overrightarrow{M N}$与$\overrightarrow{M P}$ B.$\overrightarrow{M N}$与$\overrightarrow{Q P}$
C.$\overrightarrow{M Q}$与$\overrightarrow{P N}$ D.$\overrightarrow{Q N}$与$\overrightarrow{N Q}$
解析:由于$\overrightarrow{Q N} \| \overrightarrow{N Q}$,则不能作为基底,所以选项D不能作为基底;当四边形$M N P Q$是平行四边形时,$\overrightarrow{M N}\|\overrightarrow{Q P}, \overrightarrow{M Q}\| \overrightarrow{P N}$,所以选项B和C都不能作为基底;很明显$\overrightarrow{M N}$与$\overrightarrow{M P}$不共线,则可以作为基底,故选A.
答案:A
2.向量的夹角
(1)定义:两个非零向量a和b,且$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}$,则$\angle A O B=\theta$叫做向量a和b的夹角(如图),范围是$\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right]$.当$\theta=0^{\circ}$时,向量a和b同向;当$\theta=180^{\circ}$时,向量a和b反向.
(2)垂直:如果向量a和b的夹角是90°,我们就说向量a与b垂直,记作$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。
【做一做2】 如图,在等边三角形ABC中,$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{B C}$的夹角等于( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
解析:延长AB到D,使AB=BD,如图,
则$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{B C}$的夹角等于$\angle C B D$.
又$\angle A B C=60^{\circ}$,
则$\angle C B D=180^{\circ}-\angle A B C=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$,所以$\overrightarrow{A B}$与$\overrightarrow{B C}$的夹角等于$120^{\circ}$.
答案:C
1.理解平面向量基本定理
剖析:(1)$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是同一平面内的两个不共线向量.
(2)对于给定的向量a,实数$\lambda_{1},\lambda_{2}$存在且唯一.实数$\lambda_{1},\lambda_{2}$的唯一性是相对于基底$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$而言的.
(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的分解是唯一的.
(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本,即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
(5)零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量.
2.理解向量的夹角
剖析:(1)由于零向量的方向是任意的,因此,零向量可以与任一向量平行,因此不讨论与零向量有关的夹角问题.
(2)按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两个向量的夹角,如图,$\angle B A C$不是$\overrightarrow{C A}$与$\overrightarrow{A B}$的夹角,$\angle B A D$才是$\overrightarrow{C A}$与$\overrightarrow{A B}$的夹角.
(3)特别地,a与b的夹角为$\theta, \lambda_{1} \mathbf{a}$与$\lambda_{2} \mathbf{b}$($\lambda_{1}, \lambda_{2}$是非零常数)的夹角为$\theta_{0}$,当$\lambda_{1} \lambda_{2} < 0$时,$\theta_{0}=180^{\circ}-\theta$;当$\lambda_{1}>0$时,$\theta_{0}=\theta$.
题型一、判断向量的基底
【例1】 设$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①$\mathbf{c}_{1}$与$\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}$;②$\mathbf{e}_{1}-2 \mathbf{e}_{2}$与$\mathbf{e}_{2}-2 \mathbf{e}_{1}$;③$\mathrm{e}_{1}-2 \mathrm{e}_{2}$与$4 \mathbf{e}_{2}-2 \mathbf{e}_{1}$;④$\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}$与$\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}$.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是________.(写出所有满足条件的序号)
反思
根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题.若不共线,则它们可以作为一组基底;若共线,则它们不能作为一组基底.
【变式训练1】
(1)已知向量$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$不共线,则下列各组向量可以作为平面内的一组基底的是( )
A.$\mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}$与$\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{1}$ B.$2 \mathbf{e}_{1}-3 \mathbf{e}_{2}$与$\mathbf{e}_{1}-\frac{3}{2} \mathbf{e} 2$
C.$-\mathbf{e}_{1}-2 \mathbf{e}_{2}$与$2 \mathbf{e}_{1}+4 \mathbf{e}_{2}$ D.$\mathbf{e}_{1}-2 \mathbf{e}_{2}$与$2 \mathbf{e}_{1}-\mathbf{e}_{2}$
(2)设点O是$\square A B C D$两条对角线的交点,下列向量组:①$\overrightarrow{A D}$与$\overrightarrow{A B } $ ;②$\overrightarrow{A D} $与$\overrightarrow{D A} $;③$\overrightarrow{B C} $与$\overrightarrow{D C}$;④$\overrightarrow{O D}$与$\overrightarrow{O B} $,可作为该平面其他向量基底的是( )
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
题型二、用基底表示向量
【例2】 如图,梯形$ABCD$中,$A B / / C D$,且$A B=2 C D, M, N$分别是$DC$和$AB$的中点,若$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A D}=\mathbf{b}$,试用基底$\mathbf{a}, \mathbf{b}$表示$\overrightarrow{D C}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{M N}$.
反思
用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,要仔细观察所给图形,把所求向量放在三角形或平行四边形中,借助于平面几何知识和共线向量定理,结合平面向量基本定理解决.
【变式训练2】 (1)
如图,平行四边形$ABCD$中,$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A D}=\mathbf{b}, M$是$DC$的中点,以$a,b$为基底表示向量$\overrightarrow{A M}=$______.
(2)
已知$\triangle A B C$中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}, \overrightarrow{A C}=\mathbf{b}$,用a,b表示$\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A F}$。
题型三、向量的夹角
【例3】已知$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=2$,且a与b的夹角为$60^{\circ}$,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角是多少?
反思
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.
【变式训练3】 若$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}, \mathbf{b} \neq \mathbf{0}$,且$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$,求a与a+b的夹角.
题型四、易错辨析
易错点 不理解向量夹角的定义致错
【例4】 在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle A B C=90^{\circ}, \angle A C B=60^{\circ}$,则$\overrightarrow{A C}$与$\overrightarrow{C B}$的夹角θ=_______.