平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.
平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示
设非零向量$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right), \mathbf{a}$与$b$的夹角为$\theta$,则有下表:
坐标表示
数量积
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}$
模
$|\mathbf{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$或$|\mathbf{a}|^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$
设$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$,则$\left|\overrightarrow{P_{1} P_{2}}\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
垂直
$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$
夹角
$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a \| b|}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$
名师点拨已知非零向量$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$.
$\mathbf{a} / / \mathbf{b} \Leftrightarrow x_{1} y_{2}=x_{2} y_{1}$,即$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$.
$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow x_{1} x_{2}=-y_{1} y_{2}$,即$x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0$.
这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错积相等,垂直横横纵纵积相反.
【做一做1】 向量$\mathbf{m}=(1,0), \mathbf{n}=(2,-5)$,则$m \cdot n$等于 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.7
解析:$\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}=1 \times 2+0 ×(-5)=2$.
答案:C
【做一做2】 已知$\overrightarrow{M N}=(3,-4)$,则$|\overrightarrow{M N}|$等于( )
A.3 B.4 C.√5 D.5
解析:$|\overrightarrow{M N}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=5$.
答案:D
【做一做3】 若向量$\mathbf{a}=(4,2), \mathbf{b}=(6, m)$,且$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$,则m的值是( )
A.12 B.3 C.-3 D.-12
解析:$\because \mathbf{a} \perp \mathbf{b}, . .4 \times 6+2 m=0$,解得$m=-12$.
答案:D
【做一做4】 已知$\mathbf{a}=(3,0), \mathbf{b}=(-5,5)$,则$a$与$b$的夹角θ=______.
解析:$|\mathbf{a}|=\sqrt{9+0}=3,|\mathbf{b}|=\sqrt{25+25}=5 \sqrt{2}$,
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=3 \times(-5)+0 \times 5=-15$,
则$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a||b|}=\frac{-15}{3 \times 5 \sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
由$0 \leq \theta \leq \pi$,知$\theta=\frac{3 \pi}{4}$,即$a$与$b$的夹角为 $\frac{3 \pi}{4}$.
答案:$\frac{3 \pi}{4}$
1.投影的坐标表示
剖析:由于向量$\mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$在向量$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right)$方向上的投影为$|\mathbf{b}| \cos \theta=\frac{|a \| b| \cos \theta}{|a|}=\frac{b \cdot a}{|a|}$(θ为a与b的夹角),从而向量b在向量a方向上的投影的坐标表示为$\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}$.同理可得,向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为$|\mathbf{a}| \cos \theta=\frac{|a||b| \cos \theta}{|b|}=\frac{a \cdot b}{|b|}=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$.
2.向量数量积性质的坐标表示
剖析:设两个非零向量$\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right), \mathbf{a}$与$b$的夹角为θ.
(1)$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}$;
(2)$\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}=0$;
(3)$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2} \Leftrightarrow|\mathbf{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$;
(4)$\cos \theta=\frac{a \cdot b}{|a| b |} \Leftrightarrow \cos \theta=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$;
(5)$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \Leftrightarrow\left|a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}\right| \\ \leq \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}$.
名师点拨在解决向量数量积的坐标运算问题时,关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}$以及相关的向量的长度公式和夹角公式.在这个过程中还要熟练运用方程的思想.值得注意的是,对于一些向量数量积的坐标运算问题,有时考虑其几何意义可使问题快速得解.
题型一、数量积的坐标运算
【例1】 已知$\mathbf{a}=(2,-1), \mathbf{b}=(3,-2)$,求$(3 a-b) \cdot(a-2 b)$.
反思
对于数量积的坐标运算有两种方法:一是先化简再代入向量的坐标,二是先确定向量的坐标,再计算数量积.
【变式训练1】 已知向量a与b共线,$\mathbf{b}=(1,2), \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=10$,求a的坐标.
题型二、垂直问题
【例2】 已知向量$\mathbf{a}=(1,2)$,向量$\mathbf{b}=(x,-2)$,且$a \perp(a-b)$,则实数x等于( )
A.9 B.4 C.0 D.-4
反思
有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本题也可先求出a-b的坐标,再代入a?(a-b)=0,解得x.
【变式训练2】 已知向量$\mathbf{a}=(1,2), \mathbf{b}=(2,-3)$,若向量c满足$(\mathbf{a}+\mathbf{c}) / / \mathbf{b}, \mathbf{c} \perp(\mathbf{a}+\mathbf{b})$,则c等于( )
A.$\left(\frac{7}{9}, \frac{7}{3}\right)$ B.$\left(-\frac{7}{3}, \frac{7}{9}\right)$
C.$\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{9}\right)$ D.$\left(-\frac{7}{9},-\frac{7}{3}\right)$
题型三、夹角问题
【例3】 已知$\mathbf{a}=(\sqrt{3}, 1), \mathbf{b}=(2,2 \sqrt{3})$,
(1)求a?b;
(2)求a与b的夹角θ.
反思
利用坐标求两向量夹角的步骤为:
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积;
(2)利用$|\mathbf{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$计算出这两个向量的模;
(3)由公式$\cos \theta=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$ 直接求出$\cos \theta$的值;
(4)在$0 \leq \theta \leq \pi$内,由cos θ的值求角θ.
【变式训练3】 若向量a=(1,2),b=(1,-1),求2a+b与a-b的夹角.
【例4】 已知在$\triangle A B C$中,$A(2,-2), B(5,1), C(1,4)$,求$\angle B A C$的余弦值.
反思
反思已知三角形各顶点坐标求其内角时,可转化为求向量的夹角问题.
【变式训练4】 已知$\overrightarrow{O A}=(3,1), \overrightarrow{O B}=(0,4), \overrightarrow{O C}=(2,4)$,求$\angle A C B$的余弦值.
题型四、易错辨析
易错点 考虑问题不全面致错
【例5】 已知$\mathbf{a}=(1,-2), \mathbf{b}=(1, \lambda)$,且a与b的夹角θ为锐角,则实数λ的取值范围是( )
A.$(-\infty,-2) \cup\left(-2, \frac{1}{2}\right)$ B.$\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
C.$\left(-2, \frac{2}{3}\right) \cup\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$ D.$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$