正切函数的性质与图象
2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质
(1)图象:如图.
正切函数$y=\tan x, x \in \mathbf{R}, x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表.
函数性质
$y=\tan x$
定义域
$\left\{\mathrm{x} | \mathrm{x} \neq \frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}\right\}$
值域
R
周期
$\pi$
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间$\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right)$上是增函数
知识拓展
1.正切函数图象的对称中心是$\left(\frac{k \pi}{2}, 0\right)(k \in \mathbf{Z})$,不存在对称轴.
2.正切函数的图象无限接近直线$x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$.
3.函数$y=A \tan (\omega x+\varphi)+b$的周期是$T=\frac{\pi}{|\omega|}$.
【做一做1】 y=tan x( )
A.在整个定义域上为增函数
B.在整个定义域上为减函数
C.在每一个开区间$\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right)(k \in \mathbf{Z})$上为增函数
D.在每一个闭区间$\left[-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right](k \in \mathbf{Z})$上为增函数
答案:C
【做一做2】 $f(x)=\tan ^{2} x$( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案:B
【做一做3】 函数$y=3 \tan x-1$的定义域是______.
答案:$\left\{x | x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathrm{Z}\right\}$
画正切函数的简图
剖析:我们知道“五点法”可以快速画出正弦函数、余弦函数的图象的草图,正切函数的图象不是连续的曲线,不同于正弦函数、余弦函数的图象,需从正切函数的图象和性质上来分析,找出画简图的方法.
因为正切函数的定义域为$\left\{x | x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathrm{Z}\right\}$,所以正切函数的图象被垂直于$x$轴的无数条平行直线$x=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$隔开.
画正切函数的图象时,也是先画一个周期的图象,即函数$y=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$的图象,再把这一图象向左、向右平移(每次平移π个单位长度),得到正切函数的图象.
通过作函数$y=\tan x, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$的图象发现:函数的图象过$\left(-\frac{\pi}{4},-1\right),\left(\frac{\pi}{4}, 1\right),(0,0)$三点,并被直线$x=\pm \frac{\pi}{2}$隔开,这样,根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的简图.
题型一、求定义域和单调区间
【例1】 求函数$y=\tan \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)$的定义域,并指出它的单调区间.
反思
求函数$y=A \tan (\omega x+\varphi), A \neq 0, \omega>0$的定义域和单调区间,可以通过解不等式的方法去解答:把“$\omega x+\varphi(\omega>0)$”看作一个整体,借助正切函数的定义域和单调区间来解决.若$\omega < 0$,则先利用诱导公式将$x$的系数变为正值再求解.
【变式训练1】 函数$y=\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$的定义域是( )
A.$\left\{x | x \neq \frac{\pi}{4}\right\}$ B.$\left\{x | x \neq-\frac{\pi}{4}\right\}$
C.$\left\{x | x \neq k \pi+\frac{\pi}{4}, k \in \mathrm{Z}\right\}$ D.$\left\{x | x \neq k \pi+\frac{3 \pi}{4}, k \in \mathrm{Z}\right\}$
【变式训练2】 求函数$y=\tan \left(-\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{4}\right)$的单调区间.
题型二、比较大小
【例2】 比较$\tan \left(-\frac{13 \pi}{4}\right)$与$\tan \left(-\frac{17 \pi}{5}\right)$的大小.
分析:先利用诱导公式转化为同一个单调区间上的两个角的正切值,再比较大小.
反思
运用正切函数的单调性比较tan α与tan β大小的步骤:
首先观察α,β是否在正切函数的同一个单调区间,若是,则直接运用正切函数的单调性比较大小;若不是,则先利用诱导公式,将角α,β转化到正切函数的同一单调区间内,通常是转化到区间$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$再运用正切函数的单调性比较大小.
【变式训练3】 比较$\tan \frac{19 \pi}{7}$与$\tan \frac{23 \pi}{8}$的大小.
题型三、求周期
【例3】 求下列函数的最小正周期:
(1)$y=-\tan \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{3}{5}\right)$;
(2)$y=|\tan x|$.
分析:(1)利用为$T=\frac{\pi}{|\omega|}$ 求解;(2)画出函数图象利用图象求解.
反思
函数$y=A \tan (\omega x+\varphi)$与函数$y=|A \tan (\omega x+\varphi)|(A \neq 0, \omega \neq 0)$的最小正周期均为$T=\frac{\pi}{|\omega|}$.
【变式训练4】
(1)函数$y=\tan \left(-\frac{1}{3} x+\frac{\pi}{6}\right)$的周期是______.
(2)已知函数$y=\tan \left(a x+\frac{\pi}{3}\right)$的周期是6$\pi$,则$a$=______.
题型四、解不等式
【例4】 观察正切曲线,解不等式$\tan x>1$.
分析:先确定在一个周期$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$内的x的范围,再根据正切函数的周期性写出不等式的解集.
反思
当$\omega>0$时,解不等式$\tan (\omega x+\varphi)>a$(或$\tan (\omega x+\varphi) < a$),先求出满足$\tan \alpha=a$的角$\alpha$,且$\alpha \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,再由$\alpha<\omega x+\varphi<\frac{\pi}{2}$ (或$-\frac{\pi}{2}<\omega x+\varphi<\alpha$),求出x的范围,把端点值加上周期的整数倍即可.也可以直接由$k \pi+\alpha<\omega x+\varphi < k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$(或$k \pi-\frac{\pi}{2}<\omega x+\varphi < k \pi+\alpha, k \in Z$)求$x$的范围,该范围就是不等式的解集.当$\omega < 0$时,先利用诱导公式将x的系数变为正值,再进行上述步骤.
【变式训练5】 求函数$y=\sqrt{\tan x+1}+\lg (1-\tan x)$的定义域.
题型五、易错辨析
易错点 忽视正切函数的定义域
【例5】 求$y=\frac{1}{1+\tan x}$ 的定义域.