高中数学网正弦函数、余弦函数的图象
2.掌握正弦函数、余弦函数的图象,知道它们之间的关系.
3.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
1.正弦函数、余弦函数图象的画法
(1)几何法:利用正弦线画函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象,是把角$x$的正弦线向右平移,使它的起点与$x$轴上的点$x$重合,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象.
$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$的图象.
(2)五点法:用“五点法”作函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象的步骤是:
①列表:
$x$
0
$\frac{\pi}{2}$
$\pi$
$\frac{3 \pi}{2}$
2$\pi$
$y=\sin x$
0
1
0
-1
0
②描点:在平面直角坐标系中描出五点:$(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)$.
③用光滑的曲线顺次连接这五个点,得正弦函数在[0,2π]上的简图.
归纳总结
1.“五点法”只是画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象.
2.若$x \in \mathbf{R}$,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图象,再通过左、右平移可得到y=sin x和y=cos x的图象.
【做一做1-1】 用五点法画$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为( )
A.π B.2π C.$\frac{\pi}{2}$ D.$\frac{3 \pi}{2}$
答案:A
【做一做1-2】 用五点法画$y=\cos x, x \in[0,2 \pi]$的图象时,这五个点的纵坐标的和等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:1+0+(-1)+0+1=1.
答案:C
2.正弦曲线、余弦曲线
(1)定义:正弦函数$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$和余弦函数$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
(2)图象如图.
名师点拨将$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位得$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象,因此$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$与$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同.
【做一做2-1】 下列各点中,不在y=sin x图象上的是 ( )
A. $(0,0)$ B.$\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ C. $\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right)$ D.$(\pi, 1)$
答案:D
【做一做2-2】 x轴与函数$y=\cos x, x \in \mathbf{R}$的图象的交点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
答案:D
“五点法”画正弦函数和余弦函数的图象
剖析:画正弦函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$的图象有五个关键点,它们是$(0,0),\left(\frac{\pi}{2}, 1\right),(\pi, 0),\left(\frac{3 \pi}{2},-1\right),(2 \pi, 0)$,因此描出这五点后,正弦函数$y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$图象的形状基本上就确定了.在连线时,曲线经过最高点或最低点的连线要保持“光滑”.用“五点法”画余弦函数$y=\cos x, x \in[0,2 \pi]$的图象时也是一样.
题型一、画三角函数的图象
【例1】 画函数$y=-\sin x, x \in[0,2 \pi]$的简图.
【变式训练1】 用“五点法”作出$y=1+\cos x(0 \leq x \leq 2 \pi)$的简图.
题型二、正弦曲线、余弦曲线的应用
【例2】 判断方程$x^{2}-\cos x=0$的根的个数.
反思
关于方程根的个数问题,往往运用数形结合方法构造函数,转化为求函数图象交点的个数问题来解决.
【变式训练2】 (1)方程$2^{x}=\cos x$的实根有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
(2)当$x \in[0,2 \pi]$时,满足$2 \cos x-1 < 0$的解集为_______.
