高中数学网正弦函数、余弦函数的性质
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,会结合它们的图象说出单调区间,并能根据单调性比较大小.
3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值、最小值,会求简单三角函数的值域或最值,并能指出取得最大(小)值时自变量x的值的集合.
1.正弦函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质如下表:
解析式
$y=\sin x$
图象
定义域
R
值域
[-1,1]
当$x=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$时,y取最大值1
当$x=2 k \pi-\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$时,y取最小值-1
解析式
$y=\sin x$
最小正周期
2$\pi$
奇偶性
奇函数
单调性
在$\left[2 \mathrm{k} \pi-\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right](k \in \mathbf{Z})$上是增函数;
在$\left[2 k \pi+\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}\right](k \in \mathbf{Z})$上是减函数。
知识拓展
正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为$(k \pi, 0)(k \in \mathbf{Z})$,即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是$x=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,所有的对称轴垂直于$x$轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.
【做一做1】 已知函数$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$,则下列说法不正确的是( )
A.定义域是R
B.最大值与最小值的和等于0
C.在$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$上是减函数
D.最小正周期是2$\pi$
答案:C
2.余弦函数的图象与性质
余弦函数的图象与性质如下表:
解析式
$y=\cos x$
图象
定义域
R
值域
$[-1,1]$
当$x=2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$时,$y$取最大值1
当$x=2 k \pi+\pi(k \in \mathbf{Z})$时,$y$取最小值-1
最小正周期
2$\pi$
奇偶性
偶函数
单调性
在$[(2 k-1) \pi, 2 k \pi](k \in \mathbf{Z})$上是增函数;
在$[2 k \pi,(2 k+1) \pi](k \in \mathbf{Z})$上是减函数
知识拓展
余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是$\left(k \pi+\frac{\pi}{2}, 0\right)(k \in \mathbf{Z})$,即余弦曲线与x轴的所有交点;余弦曲线也是轴对称图形,其所有的对称轴方程是$x=k \pi(k \in \mathbf{Z})$,所有的对称轴垂直于x轴,且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值.【做一做2】 已知函数$y=\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$,则该函数的单调递增区 间是______,该函数图象的对称中心坐标是______,对称轴方程是______.
解析:由$2 k \pi-\pi \leq x-\frac{\pi}{3} \leq 2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$,
得$2 k \pi-\frac{2 \pi}{3} \leq x \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$,
所以该函数的单调增区间是$\left[2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\frac{\pi}{3}\right], k \in \mathbf{Z}$,
由$x-\frac{\pi}{3}=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$,得$x=k \pi+\frac{5 \pi}{6}, k \in \mathbf{Z}$,
所以该函数的对称中心坐标是$\left(k \pi+\frac{5 \pi}{6}, 0\right), k \in \mathbf{Z}$.
由$x-\frac{\pi}{3}=k \pi, k \in \mathbf{Z}$,得$x=k \pi+\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$,
所以该函数图象的对称轴方程是$x=k \pi+\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$.
答案:$\left[2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\frac{\pi}{3}\right], \\ k \in \mathbf{Z} \quad\left(k \pi+\frac{5 \pi}{6}, 0\right), k \in \mathbf{Z}$ $x=k \pi+\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$
正弦函数、余弦函数的性质与图象的关系
剖析:
(1)定义域是R,反映在图象上是图象向左、向右无限伸展.
(2)正弦函数、余弦函数的单调性,反映在图象上是曲线的上升与下降的情况.
(3)正弦函数、余弦函数的周期性,反映在图象上是曲线有规律地重复出现.相邻两个对称中心的间隔是半个周期,相邻两个对称轴的间隔也是半个周期,相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期.
(4)正弦函数、余弦函数的奇偶性,反映在图象上是曲线关于原点或y轴对称,即$\sin (-x)=-\sin x, \cos (-x)=\cos x$
(5)正弦函数、余弦函数的最大值和最小值,反映在图象上,就是曲线的最高点和最低点的纵坐标.
题型一、判断三角函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)$f(x)=\sin x \cos x$;
(2)$f(x)=\frac{1+\sin x-\cos ^{2} x}{1+\sin x}$.
分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,进而可确定函数的奇偶性.
反思
判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提.另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(-x)之间关系时的应用.
【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)$f(x)=x \sin (\pi+x)$;
(2)$f(x)=\frac{1-\cos x}{\sin x}$.
题型二、求三角函数的单调区间
【例2】 求函数$y=2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$的单调递减区间.
反思
求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,利用整体思想,把ωx+φ看成一个整体,借助正弦函数的单调区间来解决.
【变式训练2】
(1)求函数$y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$的单调递增区间;
(2)求函数$y=\cos \left(3 x+\frac{\pi}{6}\right)$的单调递减区间.
题型三、求三角函数的值域
【例3】 求下列函数的值域:
(1)$y=3-2 \cos 2 x, x \in \mathbf{R}$;
(2)$y=\cos ^{2} x+2 \sin x-2, x \in \mathbf{R}$.
分析:(1)将2x看成一个整体,利用余弦函数的值域求得;(2)把sin x看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.
反思
求三角函数值域或最值的常用方法:
(1)可化为单一函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)+k$或$y=A \cos (\omega x+\varphi)+k$,其最大值为$|A|+k$,最小值为$|A|+k$(其中A,ω,k,φ为常数,A≠0,ω≠0).
(2)可化为$y=A \sin ^{2} x+B \sin x+C$或$y=A \cos ^{2} x+B \cos x+C(A \neq 0)$,最大、最小值可利用二次函数在区间$[-1,1]$上的最大值、最小值的求法来求.(换元法)
【变式训练3】 求下列函数的值域:
(1)$y=\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right), x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$;
(2)$y=\cos ^{2} x-4 \cos x+5$.
题型四、比较三角函数值的大小
【例4】 比较下列各组数的大小:
(1)$\sin 194^{\circ}$与$\cos 160^{\circ}$;
(2)$\sin \left(\sin \frac{3 \pi}{8}\right)$与$\sin \left(\cos \frac{3 \pi}{8}\right)$.
分析:(1)将异名三角函数化为同名三角函数,并且利用诱导公式转化到同一单调区间上.(2)首先比较$\sin \frac{8 \pi}{3}$与$\cos \frac{8 \pi}{3}$的大小,然后利用正弦函数的单调性比较大小.
反思
比较三角函数值大小的步骤:(1)利用诱导公式把异名函数化为同名函数;(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上;(3)利用三角函数的单调性比较大小后写出结论.
【变式训练4】 比较下列各组数的大小:
(1)$\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)$与$\cos \frac{13 \pi}{7}$;
(2)$\sin \frac{21 \pi}{5}$ 与$\sin \frac{42 \pi}{5}$.
题型五、易错辨析
易错点 忽视x的系数的正负致错
【例5】 求$y=\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)$的单调递增区间.
方法总结
对于函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)$(或$y=A \cos (\omega x+\varphi)$,在ω>0的情况下,若A < 0,则该函数的单调性与函数$y=\sin (\omega x+\varphi)$(或$y=\cos (\omega x+\varphi)$)的单调性相反.若ω < 0,则应先用诱导公式把x的系数变为正,再求单调区间.
