周期函数
2.知道正弦函数和余弦函数都是周期函数.
3.会求函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的周期.
1.周期函数
(1)定义:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.
归纳总结
若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则有:(1)定义域中含有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中k∈Z;(3)f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一次.【做一做1】 函数f(x)是周期函数,10是f(x)的一个周期,且$f(2)=\sqrt{2}$,则f(22)=________.
解析:$f(22)=f(12+10)=f(12) \\ =f(10+2)=f(2)=\sqrt{2}$.
答案:$\sqrt{2}$
2.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数$y=\sin x$是周期函数,2$k \pi(k \in \mathbf{Z}, k \neq 0)$都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数$y=\cos x$是周期函数,2$k \pi(k \in \mathbf{Z}, k \neq 0)$都是它的周期,最小正周期是2π.
(3)正弦函数和余弦函数的周期性,实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的.
知识拓展
函数$y=A \sin (\omega x+\varphi)+b, \\ y=A \cos (\omega x+\varphi)+b(\omega>0)$
的最小正周期$T=\frac{2 \pi}{\omega}$。【做一做2】 函数$y=\sin x, y=\cos x$的周期分别是$T1,T2$,则$\tan \frac{T_{1}+T_{2}}{16}=$___________.
对周期函数的概念的理解
剖析:可以从以下几点来理解周期函数:
(1)周期函数定义中的“$f(x+T)=f(x)$”是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的$x$值满足$f(x+T)=f(x)$,不能说$T$是$y=f(x)$的周期. 例如,$\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{4}$,但是$\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right) \neq \sin \frac{\pi}{3}$,这就是说,对于定义域内的每一个值$x$,$\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$不恒成立,因此 $\frac{\pi}{2}$ 不是$y=\sin x$的周期.
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数$f(x)=C$(C为常数),$x \in \mathbf{R}$,当$x$为定义域内的任何值时,函数值都是$C$,即对于函数$f(x)$的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=f(x),因此f(x)是周期函数,因为T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)没有最小正周期.
(3)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值,周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次.
题型一、证明周期函数
【例1】 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2),求证:函数y=f(x)是周期函数.
分析:只需找到一个非零实数T,满足f(x+T)=f(x)即可.
反思
通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时,只需找到一个非零常数T,满足对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立即可.
【变式训练1】 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a是不为零的常数),证明:2a是函数y=f(x)的一个周期.
题型二、求三角函数的周期
【例2】 求下列函数的周期:
(1)$f(x)=\sin \left(\frac{1}{4} x+\frac{\pi}{3}\right)(x \in \mathbf{R})$;
(2)$y=|\sin x|(x \in \mathbf{R})$.
反思
求三角函数的周期,通常有三种方法:
(1)定义法.根据函数周期的定义求函数的周期.如本例(1).
(2)公式法.一般地,对于$y=A \sin (\omega x+\varphi)$或$y=A \cos (\omega x+\varphi)$(其中$A, \omega, \varphi$是常数,且$A \neq 0, \omega \neq 0$)形式的函数,其周期为$T$,则$T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$.本例(1)用公式求解为$T=\frac{2 \pi}{\frac{1}{4}}=8 \pi$.公式法是最常用而且简单的方法.
(3)图象法.大致画出函数的图象观察,如本例(2).
【变式训练2】
(1)函数$y=\cos \left(-\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{6}\right)$的最小正周期是( )
A.-6 B.-6π C.6 D.6π
(2)函数$y=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$的周期是 $\frac{2 \pi}{3}$,则ω=_____.
题型三、函数的周期的应用
【例3】 设f(x)是以1为一个周期的函数,且当$x \in(-1,0)$时,$f(x)=2 x+1$,求$f\left(\frac{7}{2}\right)$的值.
反思
1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
2.已知一个函数是周期函数,若要研究该函数的有关性质,由周期函数的定义,可知研究该函数在一个周期上的特征,加以推广便可以得到该函数在其定义域内的有关性质.
【变式训练3】
(1)$f(x)$是以4为周期的偶函数,当$x \in[0,2]$时,$f(x)=x$,则$f(7.6)$=_______.
(2)若$f(x)$是以 $\frac{\pi}{2}$ 为周期的函数,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=-1$,则$f\left(\frac{11 \pi}{6}\right)=$_______.
题型四、易错辨析
易错点 不清楚$f(x+T)$表达的意义致错
【例4】 利用定义求$f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$的最小正周期.