二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.
二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
简记
正弦
$\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\mathbf{S}_{2 \alpha}$
余弦
$\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha$
$=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha$
$\mathrm{C}_{2 \alpha}$
正切
$\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}$
$\mathrm{T}_{2 \alpha}$
归纳总结
对倍角公式的理解:
倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,而且其他如4α是2α的二倍、α是 $\frac{\alpha}{2}$的二倍、3α是 $\frac{3 \alpha}{2}$ 的二倍等也都是适用的.
【做一做1】 已知$\sin \alpha=\frac{3}{5}, \cos \alpha=\frac{4}{5}$,则$\sin 2 \alpha$等于 ( )
A.$\frac{7}{5}$ B.$\frac{12}{5}$ C.$\frac{12}{25}$ D.$\frac{24}{25}$
解析:$\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{24}{25}$.
答案:D
【做一做2】 已知$\cos \alpha=\frac{1}{3}$,则$\cos 2 \alpha$等于( )
A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{2}{3}$ C.$-\frac{7}{9}$ D.$\frac{7}{9}$
解析:$\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$.
答案:C
【做一做3】 已知tan α=3,则tan 2α等于( )
A.6 B.$-\frac{3}{4}$ C.$-\frac{3}{8}$ D.$\frac{9}{8}$
解析:$\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\frac{2 \times 3}{1-3^{2}}=-\frac{3}{4}$.
答案:B
二倍角公式的变形公式
剖析:
(1)公式的逆用:
$2 \sin \alpha \cos \alpha=\sin 2 \alpha ; \quad \sin \alpha \cos \alpha \\ =\frac{1}{2} \sin 2 \alpha$;
$\cos \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{2 \sin \alpha}$;
$\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=\cos 2 \alpha$;
$\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\tan 2 \alpha$
(2)公式的有关变形:
$1 \pm \sin 2 \alpha=\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha \\ =(\sin \alpha \pm \cos \alpha)^{2}$;
$1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha ; \quad 1-\cos 2 \alpha=2 \sin ^{2} \alpha$。
(3)升幂和降幂公式:
升幂公式:$1+\sin \alpha=\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}\right)^{2}$;
$1-\sin \alpha=\left(\sin \frac{\alpha}{2}-\cos \frac{\alpha}{2}\right)^{2}$;
$1+\cos \alpha=2 \cos 2 \frac{\alpha}{2} ; \quad 1-\cos \alpha=2 \sin 2 \frac{\alpha}{2}$.
降幂公式:$\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} ; \sin 2 \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}$
题型一、利用二倍角公式求值
【例1】 求下列各式的值:
(1)$\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}$;
(2)$\frac{1}{2}-\cos 2 \frac{\pi}{8}$;
(3)$\tan \frac{\pi}{12}-\frac{1}{\tan \frac{\pi}{12}}$.
反思
解决此类题目时,应善于观察三角函数式的特点,变形后正用或逆用公式来解决.本题中,若要求出$\cos \frac{\pi}{5}, \cos \frac{2 \pi}{5}, \cos \frac{\pi}{8}, \tan \frac{\pi}{12}$的值,则会使问题复杂化.
【变式训练1】 求下列各式的值:
(1)$\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$;
(2)$1-2 \sin ^{2} 750^{\circ}$;
(3)$\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$.
题型二、知值求值
【例2】 已知$\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{5}{13}, 0 < x<\frac{\pi}{4}$,求 $\frac{\cos 2 x}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+x\right)}$ 的值.
反思
已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.
【变式训练2】
(1)已知$\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$,且α是锐角,则$\sin \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$__________,$\cos \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$__________,$\tan \left(2 \alpha-\frac{\pi}{3}\right)=$__________;
(2)若$\sin \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{3}{5}\left(0<\theta<\frac{\pi}{4}\right)$,则$\cos 2 \theta=$__________.
题型三、化简与证明
【例3】 化简:
(1)$\frac{\cos 10^{\circ}\left(1+\sqrt{3} \tan 10^{\circ}\right)}{\cos 70^{\circ} \sqrt{1+\cos 40^{\circ}}}$;
(2)$\frac{2 \cos ^{2} \alpha-1}{2 \tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}$。
反思
化简三角函数式与证明三角恒等式的实质是一样的,那就是化繁为简,在解答这类问题时可从三个方面考虑:一是角,二是函数名,三是式,从而消除差异,达到化简的目的.
【变式训练3】
(1)化简 $\frac{2 \sin 2 \alpha \cos ^{2} \alpha}{(1+\cos 2 \alpha) \cos \alpha}=$_______.
(2)求证:$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} =\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
题型四、易错辨析
易错点 忽略角的范围致错
【例4】 化简$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos \alpha}}}(3 \pi<\alpha < 4 \pi)$.
反思
利用二倍角公式化简$\sqrt{1 \pm \cos \alpha}$时,由于$1+\cos \alpha=2 \cos 2 \frac{\alpha}{2}, 1-\cos \alpha=2 \sin 2 \frac{\alpha}{2}$,则$\sqrt{1+\cos \alpha}=\sqrt{2}\left|\cos \frac{\alpha}{2}\right|, \\ \sqrt{1-\cos \alpha}=\sqrt{2}\left|\sin \frac{\alpha}{2}\right|$
,因此要根据 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限确定$\sin \frac{\alpha}{2}, \cos \frac{\alpha}{2}$ 的符号,从而去掉绝对值符号.