高中数学网两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2.能熟练地把asin x+bcos x化为Asin(ωx+φ)的形式.
和角、差角公式如下表:
名称
公式
简记
差的正弦
$\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta$
$\mathrm{S}_{(\alpha-\beta)}$
差的余弦
$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$
$C_{(\alpha-\beta)}$
差的正切
$\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$
$\mathrm{T}_{(\alpha-\beta)}$
和的正弦
$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$
$\mathrm{S}_{(\alpha+\beta)}$
和的余弦
$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$
$\mathrm{C}_{(\alpha+\beta)}$
和的正切
$\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$
$\mathrm{T}_{(\alpha+\beta)}$
逻辑联系
归纳总结
1.一般情况下,$\sin (\alpha \pm \beta) \neq \sin \alpha \pm \sin \beta, \\ \cos (\alpha \pm \beta) \neq \cos \alpha \pm \cos \beta$,$\tan (\alpha \pm \beta) \neq \tan \alpha \pm \tan \beta$.
2.和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例.如$\sin (2 \pi-\alpha)=\sin 2 \pi \cos \alpha-\cos 2 \pi \sin \alpha \\ =0 \times \cos \alpha-1 \times \sin \alpha=-\sin \alpha$
.当α或β中有一个角是$\frac{\pi}{2}$的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便。3.使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简$\sin (\alpha+\beta) \cos \beta-\cos (\alpha+\beta) \sin \beta$时,不要将$\sin (\alpha+\beta)$和$\cos (\alpha+\beta)$展开,而应采用整体思想,进行如下变形:$\sin (\alpha+\beta) \cos \beta-\cos (\alpha+\beta) \sin \beta \\ =\sin [(\alpha+\beta)-\beta]=\sin \alpha$
.这也体现了数学中的整体原则.4.注意公式的特征和符号规律.
对于公式$\mathrm{C}_{(\alpha-\beta)}, \mathrm{C}_{(\alpha+\beta)}$可记为“同名相乘,符号反”;对于公式$S_{(\alpha-\beta)}, S_{(\alpha+\beta)}$可记为“异名相乘,符号同”.
【做一做1】 若$\tan \alpha=3, \tan \beta=\frac{4}{3}$,则$\tan (\alpha-\beta)=$ ( )
A.-3 B.$-\frac{1}{3}$ C.3 D.$\frac{1}{3}$
解析:$\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{3-\frac{4}{3}}{1+3 \times \frac{4}{3}}=\frac{1}{3}$.
答案:D
【做一做2】 sin 75°的值为( )
A.$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ B.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ D.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
解析:$\sin 75^{\circ}=\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) \\ =\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
答案:D
【做一做3】 $\cos 75^{\circ}=$________.
解析:$\cos 75^{\circ}=\cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)$
$=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
答案:$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
化简$a \sin \alpha \pm b \cos \alpha(a b \neq 0)$
剖析:逆用两角和与差的正弦公式,凑出$\sin \alpha \cos \theta \pm \cos \alpha \sin \theta$的形式来化简.
$a \sin \alpha \pm b \cos \alpha= \\ \sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin \alpha \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos \alpha\right)$，
$\because\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2} \\ +\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}=1$，
∴可设$\cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \\ \sin \theta=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
则$\tan \theta=\frac{b}{a}$(θ又称为辅助角).
$\therefore a \sin \alpha \pm b \cos \alpha \\ =\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\sin \alpha \cos \theta_{ \pm \cos } \alpha \sin \theta\right) \\ =\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\alpha \pm \theta)$
特别是当$\frac{b}{a}=\pm 1, \pm \sqrt{3}, \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$时,θ是特殊角,此时θ取$\pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{\pi}{6}$.
例如,$3 \sin \alpha-3 \sqrt{3} \cos \alpha \\ =\sqrt{9+27}\left(\frac{3}{\sqrt{9+27}} \sin \alpha-\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{9+27}} \cos \alpha\right)$
$=6\left(\frac{1}{2} \sin \alpha-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha\right)$
$=6\left(\sin \alpha \cos \frac{\pi}{3}-\cos \alpha \sin \frac{\pi}{3}\right) \\ =6 \sin \left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$
名师点拨在公式$a \sin \alpha+b \cos \alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\alpha+\varphi)$中,
(1)$\sin \varphi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \\ \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$,在使用时不必死记上述结论,而重在理解这种逆用公式的思想.
(2)$a \sin \alpha+b \cos \alpha$中的角必须为同角α,否则不成立.
题型一、给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:
(1)$\sin 347^{\circ} \cos 148^{\circ}+\sin 77^{\circ} \cos 58^{\circ}$;
(2)$\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{12}$.
反思
解答此类题目的方法就是活用、逆用$\mathrm{C}_{(\alpha \pm \beta)}, \mathrm{S}_{(\alpha \pm \beta)}$公式,在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一.
【变式训练1】 求$\sin \left(x+27^{\circ}\right) \cos \left(18^{\circ}-x\right) \\ -\cos \left(x+27^{\circ}\right) \cdot \sin \left(x-18^{\circ}\right)$
的值.题型二、给值(式)求值问题
【例2】 已知$\cos \alpha=\frac{1}{3}, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin \beta=-\frac{3}{5}, \beta$是第三象限角,求$\sin (\alpha+\beta), \sin (\alpha-\beta)$的值.
反思
分别已知α,β的某一三角函数值,求$\sin (\alpha \pm \beta), \cos (\alpha \pm \beta), \tan (\alpha \pm \beta)$时,其步骤:(1)利用同角三角函数基本关系式求出α,β其余的三角函数值;(2)代入公式$S_{(\alpha \pm \beta)}, C_{(\alpha \pm \beta)}, T_{(\alpha \pm \beta)}$计算即可.
【变式训练2】
(1)已知$\sin \alpha=-\frac{3}{5}, \alpha$是第四象限角,则$\sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=$__________.
(2)已知锐角α,β满足$\tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \tan \beta=\frac{1}{2}$,求角α的值.
题型三、利用角的变换求值
【例3】 已知$\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}, \cos (\alpha-\beta)=-\frac{4}{5}, \\ \frac{3 \pi}{2}<\alpha+\beta < 2 \pi, \frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\pi$,
求$\cos 2 \alpha$的值.反思
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式,如本题.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理地选择拆分方式.
【变式训练3】 已知$\alpha, \beta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right), \sin (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}, \\ \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{12}{13}$,
求$\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$的值.题型四、易错辨析
易错点 不能准确判断角的范围致错
【例4】 已知$\pi<\alpha<\alpha+\beta < 2 \pi$,且满足$\cos \alpha=-\frac{12}{13}, \cos (\alpha+\beta)=\frac{17 \sqrt{2}}{26}$,求$\beta$.
反思此类题目是给值求角问题,一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tan α,sin α,cos α中的一个值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.
