高中数学网三角恒等变换
2.能利用两角和与差公式、二倍角公式进行简单的三角函数式的求值、化简与证明.
1.半角公式(不要求记忆)
$\sin \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}, \cos \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$,$\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$.符号由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在的象限决定。
知识拓展
1.积化和差公式(不要求记忆和应用)
$\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]$,
$\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]$,
$\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]$,
$\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]$.
2.和差化积公式(不要求记忆和应用)
$\sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$,
$\sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$,
$\cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$,
$\cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$.
【做一做1-1】 已知$\cos \alpha=\frac{1}{3}$,且$\alpha \in(0, \pi)$,则$\cos \frac{\alpha}{2}$ 的值为( )
A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$ B.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$ C.$\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ D.$\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
解析:$\because \alpha \in(0, \pi), \therefore \frac{\alpha}{2} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,
$\therefore \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
答案:A
【做一做1-2】 已知$\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,则$\tan \frac{\alpha}{2}$ 等于( )
A.$2-\sqrt{5}$ B.$2+\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-2$ D.$\pm(\sqrt{5}-2)$
解析:$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1-\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}-2$.
答案:C
【做一做1-3】 已知$\cos \alpha=\frac{4}{5}, \alpha \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$,则$\sin \frac{\alpha}{2}$ 等于( )
A.$-\frac{\sqrt{10}}{10}$ B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$ C.$\frac{3 \sqrt{3}}{10}$ D.$-\frac{3}{5}$
解析:$\because \alpha \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right), \therefore \frac{\alpha}{2} \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$，
$\therefore \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
答案:B
2.常见的三角恒等变换
(1)$a s$ in $x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (x+\varphi)(a b \neq 0)$,其中$\tan \varphi=\frac{b}{a}, \varphi$所在象限由a和b的符号确定.仅仅讨论$\frac{b}{a}=\pm 1, \pm \sqrt{3}, \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的情况.
(2)$\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}, \cos 2 x=\frac{1+\cos 2 x}{2}, \\ \sin x \cos x=\frac{1}{2} \sin 2 x$。
【做一做2-1】 $3 \sin x-\sqrt{3} \cos x=$( )
A.$\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ B.3 $\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
C.$\sqrt{3} \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ D.2$\sqrt{3} \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
解析:$3 \sin x-\sqrt{3} \cos x$
$=2 \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x-\frac{1}{2} \cos x\right)$
$=2 \sqrt{3}\left(\sin x \cos \frac{\pi}{6}-\cos x \sin \frac{\pi}{6}\right)$
$=2 \sqrt{3} \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$.
答案:D
【做一做2-2】 $\sin ^{2} x-\sin x \cos x+2 \cos ^{2} x=$( )
A.$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)+\frac{3}{2}$ B.$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)$
C.$\sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)$ D.$\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{3}{2}$
解析:原式=$=\frac{1-\cos 2 x}{2}-\frac{1}{2} \sin 2 x+(1+\cos 2 x)$
$=\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{3}{2} \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 x\right)+\frac{3}{2}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)+\frac{3}{2}$.
答案:A
求半角的正切值常用的方法
剖析:根据经验,处理半角的正切问题有三种途径:第一种方法是用$\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$ 来处理;第二种方法是用$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$ 来处理;第三种方法是用$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$ 来处理.
例如,已知$\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, \alpha$为第四象限角,求$\tan \frac{\alpha}{2}$的值.
解法一:用$\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$来处理
$\because \alpha$为第四象限角,
$\therefore \frac{\alpha}{2}$ 是第二或第四象限角.$\therefore \tan \frac{\alpha}{2} < 0$.
$\therefore \tan \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} \\ =-\sqrt{\frac{1-\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}}=-\sqrt{2-\sqrt{3}}$
$=-\frac{1}{2} \sqrt{8-4 \sqrt{3}}=-\frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}} \\ =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。
解法二:用$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$来处理
$\because \alpha$为第四象限角,$\therefore \sin \alpha < 0$.
$\therefore \sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\therefore \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。
解法三:用$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$来处理
∵α为第四象限角,
$\therefore \sin \alpha < 0$.
$\therefore \sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\therefore \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\frac{-\frac{\sqrt{6}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{-\sqrt{6}}{3+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
比较上述三种解法,可知在求半角的正切$\tan \frac{\alpha}{2}$ 时,用$\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$ 来处理,要先由α所在的象限确定 $\frac{\alpha}{2}$ 所在的象限,再用三角函数值的符号确定根号前的符号;而用$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$ 或$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$ 来处理,可以避免这些问题.尤其是$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$,分母是单项式,容易计算.因此常用$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$ 求半角的正切值.
题型一、已知$\theta$的三角函数值求$\frac{\theta}{2}$的三角函数值。
【例1】 已知$\sin \theta=\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$,求$\sin \frac{\theta}{2}, \cos \frac{\theta}{2}, \tan \frac{\theta}{2}$ 的值.
反思已知$\theta$的某个三角函数值,求 $\frac{\theta}{2}$ 的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算即可.
【变式训练1】 求下列各式的值:
(1)$\sin \frac{\pi}{8}$;(2)$\tan \frac{5 \pi}{12}$.
题型二、化简三角函数解析式
【例2】 将下列三角函数解析式化为$y=A \sin (\omega x+\varphi)$的形式:
(1)$y=\cos ^{4} x-2 \sin x \cos x-\sin ^{4} x$;
(2)$y=\sin x(\cos x-\sin x)+\frac{1}{2}$.
反思
对三角函数式的化简一般有如下要求:(1)能求值的求值;
(2)不能求值的要保证三角函数名种类最少、项数最少、次数最低;
(3)分式分母中尽量不含根号.
【变式训练2】 已知$\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}$,化简:
$\frac{1+\sin \alpha}{\sqrt{1+\cos \alpha}-\sqrt{1-\cos \alpha}}+\frac{1-\sin \alpha}{\sqrt{1+\cos \alpha}+\sqrt{1-\cos \alpha}}$.
题型三、三角恒等式的证明
【例3】 求证:$\frac{2(\cos x-\sin x)}{1+\sin x+\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}-\frac{\sin x}{1+\cos x}$.
【变式训练3】 求证:$2(1+\cos \alpha)-\sin ^{2} \alpha=4 \cos 4 \frac{\alpha}{2}$.
