线性规划的实际应用
2.能利用线性规划解决实际应用问题.
解决线性规划问题的一般步骤
(1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线$a x+b y=0$(目标函数为$z=a x+b y$);
(2)移:平行移动直线$a x+b y=0$,确定使$z=a x+b y$取得最大值或最小值的点;
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;
(4)答:给出正确答案.
归纳总结一般地,对目标函数$z=a x+b y$,若$b>0$,则纵截距与$z$同号,因此,纵截距最大时,$z$也最大;若$b < 0$,则纵截距与$z$异号,因此,纵截距最大时,$z$反而最小.
【做一做】 有5辆载重6$t$的汽车,4辆载重4$t$的汽车,要运送一批货物,设需载重6$t$的汽车$x$辆,载重4 $t$的汽车$y$辆,则完成这项运输任务的线性目标函数为( ).
$\mathrm{A} . z=6 x+4 y$
$\mathrm{B} . z=5 x+4 y$
$\mathrm{C} \cdot z=x+y$
$\mathrm{D} . z=4 x+5 y$
答案:$A$
解答线性规划应用题应注意的问题
剖析
(1)在线性规划问题的应用中,通常题中的条件较多,因此认真审题非常重要;(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断;
(3)结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等;
(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式;
(5)作图对解决线性规划问题至关重要,其关键步骤基本上都是在图上完成的,所以作图应尽可能地准确,图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差,假如图上的最优点不容易看出时,需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检查,以确定最优解.
线性规划应用题
【例1】 某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产品生产量不少于15 t.已知生产甲产品1 t需煤9 t,电力4 $\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$,劳力3个;生产乙产品1 t需煤4 t,电力5 $\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$,劳力10个;甲产品每1 t利润7万元,乙产品每1 t利润12万元;但每天用煤不超过300 t,电力不超过200$\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$,劳力只有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少,能使利润总额达到最大?
分析将已知数据列成表,如下表所示:
消耗量产品资源
甲产品$/t$
乙产品$/t$
资源限额
煤$/t$
9
4
300
电力/$\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$
4
5
200
劳力$/$个
3
10
300
利润$/$万元
7
12
设出未知量,根据已知条件和资源限额建立约束条件,由利润关系建立目标函数.
反思
解答线性规划应用题的一般步骤:
(1)审题??仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.
(2)转化??设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
(3)求解??解这个线性规划问题.
(4)作答??就应用题提出的问题作出回答.
【变式训练1】 某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?
最优解为整数解的线性规划问题
【例2】 两类药片有效成分如表:成分
药品
阿司匹
林/$\mathrm{mg}$
小苏打/
$\mathrm{mg}$
可卡因/
$\mathrm{mg}$
每片价
格/元
A/片
2
5
1
0.1
B/片
1
7
6
0.2
若要求至少提供12 $\mathrm{mg}$阿司匹林,70$\mathrm{mg}$小苏打,28 mg可卡因,两类药的最小总数是多少?怎样搭配价格最低?
分析通过题目中的表格,分清各量之间的关系,找出线性约束条件.特别注意线性约束条件中的$x, y \in \mathbf{N}$.
【变式训练2】 有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式,可截成长度为a的钢条2根,长度为b的钢条1根;或截成长度为a的钢条1根,长度为b的钢条3根.现长度为a的钢条至少需要15根,长度为b的钢条至少需要27根.问:如何切割可使钢条用量最省?
易错辨析
易错点:约束条件不完整致错
【例3】 某实验室需购某种化工原料106$\mathrm{kg}$,现在市场上该原料有两种包装:一种是每袋35 $\mathrm{kg}$,价格为140元;另一种是每袋24$\mathrm{kg}$,价格为120元.在满足需要的条件下,最少要花费多少元?
反思
当求到的最优解不是整点最优解时,就需要对最优解进行调整,调整的基本思路就是:先求非整点最优解,再借助不定方程的知识调整最优解,最后筛选出整点最优解.确定整点最优解的方法有三种:平移直线法、特值验证法、调整优值法.
(1)平移直线法:先在可行域内打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解.
(2)特值验证法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经比较得到最优解.
(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出最优解.
一般地,先考虑平移直线法和特值验证法,如果这两种方法都有困难时,再用调整优值法.