高中数学网距离问题
2.能够用正弦定理、余弦定理解决距离问题.
1.正弦定理
(1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
(2)应用:利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题:
①已知两角与一边,解三角形;
②已知两边与其中一边的对角,解三角形.
【做一做1】 在$\triangle A B C$中,$a=4, b=3, A=30^{\circ}$,则$\sin B$等于( ).
A. 1 $\mathrm{B} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{C} \cdot \frac{3}{8} \mathrm{D} \cdot \frac{3}{4}$
答案:C
2.余弦定理
(1)定理:三角形中任何一边的_____等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍.即$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A, b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B$,$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$.
(2)推论:$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}, \cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \\ \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$
(3)应用:利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题:
①已知三边,解三角形;
②已知两边及其夹角,解三角形.
【做一做2】 在$\Delta A B C$中,$A B=3, B C=\sqrt{13}, A C=4$,则A=_______________
答案:$60^{\circ}$
3.基线
在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
距离问题的处理方法
剖析
(1)测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题.如图所示.
这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正弦定理就可解决.
(2)测量两个不可到达的点A,B之间的距离问题.如图所示.
首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后把求B,C和A,C的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题.
名师点拨距离测量问题是基本的测量问题.在初中曾经学习过应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量,这里涉及的测量问题是不可到达点的测距问题,要注意问题的差异.
测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题
【例1】 如图,在河岸边有一点$A$,河对岸有一点B,要测量$A,B$两点之间的距离,先在岸边取基线$AC$,测得$A C=120 \mathrm{m}, \angle B A C=45^{\circ}$,$\angle B C A=75^{\circ}$,求$A,B$两点间的距离.
分析在$\triangle A B C$中利用正弦定理求出$AB$即可.
反思如图,设$A$(可到达),$B$(不可到达)是地面上两点,要测量$A,B$两点之间的距离,步骤是:
(1)取基线$AC$(尽量长),且使$A B, A C$不共线;
(2)测量$A C, \angle B A C, \angle B C A$;
(3)用正弦定理解$\triangle A B C$,得$A B=\frac{A C \sin C}{\sin B}=\frac{A C \sin C}{\sin \left(180^{\circ}-A-C\right)}$
【变式训练1】 在一次夏令营活动中,同学们在相距10 n mile的A,B两个小岛上活动结束后,有人提出到隔海相望的C岛上体验生活,为合理安排时间,他们需了解C岛与B岛或A岛间的距离.为此他们测得从A岛望C岛和B岛成$60^{\circ}$的视角,从B岛望C岛和A岛成$75^{\circ}$的视角,那么B岛与C岛之间的距离是多少海里?
测量两个不可到达的点之间的距离问题
【例2】 如图,隔河看到两个目标A,B,但均不能到达,在岸边选取相距$\sqrt{3} \mathrm{km}$的$C,D$两点,并测得$A C B=75^{\circ}, \angle B C D=45^{\circ}, \\ \angle A D C=30^{\circ}, \angle A D B=45^{\circ}$($A,B,C,D$
在同一平面内),求两个目标$A,B$之间的距离.
分析要求出$A,B$之间的距离,把$AB$放在$\triangle A B C$(或$\triangle A D B$)中,但不管在哪个三角形中,$AC,BC$(或$AD,BD$)这些量都是未知的.再把$AC,BC$(或$AD,BD$)放在$\triangle A C D$,$\triangle B C D$中求出它们的值.
反思
如图,不可到达的$A,B$是地面上两点,要测量$A,B$两点之间的距离,步骤是:
(1)取基线$CD$;
(2)测量$C D, \angle A C B, \angle B C D, \angle A D C, \angle B D A$;
(3)在$\triangle A C D$中,解三角形得AC;在$\triangle B C D$中,解三角形得$BC$;
(4)在$\triangle A B C$中,利用余弦定理得$A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}-2 A C \cdot B C \cdot \cos \angle A C B}$
【变式训练2】
在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为$\frac{\sqrt{3} a}{2}$
的军事基地$C$和$D$测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且$\angle A D B=30^{\circ}, \angle B D C=30^{\circ}, \angle D C A=60^{\circ}, \\ \angle A C B=45^{\circ}$
如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
