等比数列

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.理解等比数列的概念,明确“同一个常数”的含义.
2.掌握等比数列的通项公式及其应用.
3.会判定等比数列,了解等比数列在实际中的应用.
知识点
  • 1.等比数列

    文字

    语言

    一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的___等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______,公比通常用字母$q$表示$(q \neq 0)$.

    数学

    符号

    在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,如$\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1}}=q\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
    (或$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$)$(q \neq 0)$成立,则称数列$\left\{a_{n}\right\}$为等比数列,常数$q$称为等比数列的公比.

    递推

    关系

    $a_{n}=a_{n-1} \cdot q\left(q \neq 0, n \in \mathbf{N}^{*}, n \geqslant 2\right)$
    或$a_{n+1}=a_{n} \cdot q\left(n \in \mathbf{N}^{*}, q \neq 0\right)$. 

    名师点拨

    如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列不是等比数列.

  • 2.通项公式

    等比数列$\left\{a_{n}\right\}$的首项为$a_{1}$,公比为q,则通项公式为$a_{n}=$______

    $\left(a_{1} \neq 0, q \neq 0\right)$.

    名师点拨

    根据等比数列的通项公式可得$a_{n+2}=a_{n} \cdot q^{2}$.因为$q^{2}>0$,所以$a_{n+2}$与$a_{n}$同号,即在等比数列中,所有奇数项同号,所有偶数项同号.

    【做一做2】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=2, q=3$,则$a_{n}$等于 (  ).

    $A.6$  $\mathrm{B} .3 \times 2^{n-1}$ $\mathrm{C.} 2 \times 3^{n-1}$ $\mathrm{D} .6^{n}$

    答案:C

  • 3.等比中项

    如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$,使$a, G, b$成等比数列,那么___叫做$a$与$b$的等比中项.

    知识拓展
    等比中项的性质:

    (1)若$G$是$a$与$b$的等比中项,则$a$与$b$的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中项.

    $G=\pm \sqrt{a b}$,且互为相反数.

    (2)当$G^{2}=a b$时,G不一定是$a$与$b$的等比中项.例如$0^{2}=5 \times 0$,但0,0,5不是等比数列.

    【做一做3】 4与9的等比中项为(  ).

    $A.6  B.-6$  $\mathrm{C} \cdot \pm 6 \mathrm{D} .36$

    答案:C

重难点
  • 1.理解等比数列的定义

    剖析(1)公比$q \neq 0$,这是必然的,也就是说,不存在公比q=0的等比数列,还可以理解为在等比数列中,不存在数值为0的项.

    (2)每一项与它的前一项的比是同一个常数,是具有任意性的,但须注意是从“第2项”起.

    (3)每一项与它的前一项的比是同一个常数,强调的是“同一个”.

    (4)对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,次序不能颠倒.

    (5)等比数列中至少有三项.

    (6)各项不为零的常数列既是等差数列,又是等比数列.

  • 2.理解等比数列的通项公式

    剖析(1)已知等比数列的首项$a_{1}$与公比q可求得任何一项.

    (2)在通项公式中,知道$a_{1}, q, n, a_{n}$四个量中的三个,可以求得另一个量,即“知三求一”.

    (3)通项公式的推广式为$a_{n}=a_{m} \cdot q^{n-m}$,由此可知,已知等比数列的任意两项,这个数列就是一个确定的数列.

    (4)对于选择题或填空题还可以直接利用以下结论:

    ①如果数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式是$a_{n}=a q^{k n+b}$($a,k,b,q$是常数,$a \neq 0, q \neq 0$),那么数列$\left\{a_{n}\right\}$是等比数列.

    ②如果数列$\left\{a_{n}\right\}$}满足$a_{n}^{2}=a n-1 a n+1(a n-1, a n, a n+1$均不为$0, n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^{*}$),那么数列$\left\{a_{n}\right\}$是等比数列

  • 3.等比数列与指数函数的关系

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    剖析等比数列的通项公式可整理为$a_{n}=\frac{a_{1}}{q} q n$.当$q>0$,且$q \neq 1$时,$y=\frac{a_{1}}{q} q x(q \neq 1)$是一个不为零的常数$\frac{a_{1}}{q}$ 与指数函数$q^{x}$的乘积.表示数列$\left\{\frac{a_{1}}{q} q^{n}\right\}$中的各项的点是函数$y=\frac{a_{1}}{a} q x$的图象上的孤立的点.如图,表示等比数列$\left\{2^{n-1}\right\}$的各点都在函数$y=2^{x-1}$的图象上.

例题解析
  • 求等比数列的通项公式

    【例1】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{5}-a_{1}=15, a_{4}-a_{2}=6$,求$a_{n}$.

    分析设公比为$q$,列出关于$a_{1}$和$q$的方程组来求解.

    反思

    $a_{1}$和$q$是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解(如本题求$a_{n}$).此类问题求解的通法是根据条件,利用等比数列通项公式,建立关于$a_{1}$和$q$的方程组,求出$a_{1}$和$q$.其中解这类方程组常用的技巧是两个方程相除.

    【变式训练1】 在等比数列$\left\{a_{n}\right\}$中,

    (1)$(1) a_{2}+a_{5}=18, a_{3}+a_{6}=9, a_{n}=1$,求$n$;

    (2) $a_{3}=2, a_{2}+a_{4}=\frac{20}{3}$,求$a_{n}$

  • 等比数列的判定和证明

    【例2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$\lg a_{n}=3 n+5$,求证:$\left\{a_{n}\right\}$是等比数列.

    分析可先由$\lg a_{n}=3 n+5$求出$a_{n}$,再证明$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$是与$n$无关的常数.

    反思
    证明数列是等比数列常用的方法:

    (1)定义法:$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q$($q \neq 0$,且是常数)或$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q$($q \neq 0$,且是常数,$n \geqslant 2 ) \Leftrightarrow\left\{a_{n}\right\}$为等比数列.此法适用于给出通项公式的数列,如本题. 

    (2)等比中项法:$a_{n+1}^{2}=a n \cdot a_{n+2}\left(a_{n} \neq 0, n \in \mathbf{N}^{*}\right) \Leftrightarrow\left\{a_{n}\right\}$为等比数列.此法适用于通项公式不明确的数列.

    (3)通项法:$a_{n}=a_{1} q^{n-1}$(其中$a_{1}, q$为非零常数,$n \in \mathbf{N}^{*} \Leftrightarrow\left\{a_{n}\right\}$为等比数列.此法适用于做选择题和填空题.

    【变式训练2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+1$.

    (1)求证:数列$\left\{a_{n}+1\right\}$是等比数列;

    (2)求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.

  • 应用问题

    【例3】 某工厂2016年12月的生产总值为a万元,计划从2017年1月起,每个月生产总值比上一个月增长$m \%$,则到2018年7月底,该厂的生产总值为多少万元?

    分析转化为求等比数列的一项.

    反思

    利用数列解决实际问题的关键是建立含有数列的数学模型,本题的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列.

    【变式训练3】 一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……若按照这样继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,则蜂巢中一共有蜜蜂(  ).

    A.55 986只  B.46 656只

    C.216只  D.36只

  • 易错辨析

    易错点:对等比中项理解不透彻致错

    【例4】$2+\sqrt{3}$ 与$2-\sqrt{3}$ 的等比中项是__________.  

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