高中数学网等差数列的前n项和
2.理解等差数列前n项和公式的推导过程.
3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.
1.数列的前n项和
对于数列$\left\{a_{n}\right\}$,一般地,我们称$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}$为数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和,用$S_{n}$表示,即$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}$.
名师点拨数列的前$n$项和必须从第1项开始,逐项相加到第$n$项,不能是其中几项的和.
【做一做1】 数列9,-2,-10,3的前3项和$S_{3}=$____________.
答案:-3
2.等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和
设等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的公差是$d$,则$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=n a 1+\frac{n(n-1)}{2} d$
【做一做2-1】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=1, d=1$,则$S_{n}$等于( ).
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} n} & {\mathrm{B} \cdot n(n+1)} \\ {\mathrm{C} \cdot n(n-1)} & {\mathrm{D} . \frac{n(n+1)}{2}}\end{array}$
解析:$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$
答案:D
【做一做2-2】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,已知$a_{n}=2 n-1$,则其前$n$项和$S_{n}=$____________________.
解析:易知$a_{1}=1$,故$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{n(1+2 n-1)}{2}=n^{2}$.
答案:$n^{2}$
等差数列前$n$项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前$n$项和公式$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d$
可以写为$S_{n}=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n$.
若令$\frac{d}{2}=A, a_{1}-\frac{d}{2}=B$,则上式可以写成$S_{n}=A n^{2}+B n$,
即$S_{n}$是关于项数n的函数.
当$A=0, B=0$时(此时$a_{1}=0, d=0$),$S_{n}=0$是关于n的常数函数;
当$A=0, B \neq 0$时(此时$a_{1} \neq 0, d=0$),$S_{n}=B n$是关于$n$的一次函数(正比例函数);
当$A \neq 0$时(此时$d \neq 0$),$S_{n}=A n^{2}+B n$是关于$n$的二次函数.
从上面的分析,我们可以看出:
(1)若一个数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,则其前$n$项和公式$S_{n}=f(n)$是关于$n$的二次函数或一次函数或常数函数,且其常数项为0,即$S_{n}=A n^{2}+B n$($A,B$为常数).
(2)若一个数列的前$n$项和的表达式为$S_{n}=A n^{2}+B n+C$(A,B,C为常数),则当$C \neq 0$时,数列$\left\{a_{n}\right\}$不是等差数列.
(3)当$d \neq 0$时,点$\left(1, S_{1}\right),\left(2, S_{2}\right),\left(3, S_{3}\right), \ldots,\left(n, S_{n}\right), \ldots$在抛物线$y=\frac{d}{2} x 2+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) x$的图象上.
已知$S_{n}$求$a$
【例1】 已知下面各数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$的公式,求$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.
$(1) S_{n}=2 n^{2}-3 n ; \quad(2) S_{n}=3^{n}-2$
分析利用$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}(n \geqslant 2)$求解.
反思
已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前n项和公式$S_{n}$,求通项公式$a_{n}$的步骤:
(1)当$n=1$时,$a_{1}=S_{1}$.
(2)当$n \geqslant 2$时,根据$S_{n}$写出$S_{n-1}$,化简$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$.
(3)如果$a_{1}$也满足当$n \geqslant 2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$,那么数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$;
如果$a_{1}$不满足当$n \geqslant 2$时,$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$,那么数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式要分段表示为$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{S_{1}, n=1} \\ {S_{n}-S_{n-1}, n \geq 2}\end{array}\right.$.
【变式训练1】 (1)已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}$,且$S_{n}=3 \cdot 2^{n}+1$,则$a_{n}=$____________.
(2)设数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}$,点 $\left(n, \frac{S_{n}}{n}\right)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 均在函数$y=3 x-2$的图象上,求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式.
等差数列前n项和的有关计算
【例2】 根据下列条件,求相应的等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的有关未知数:
(1)$a_{1}=\frac{3}{2}, d=-\frac{1}{2}, S_{n}=-15$，求$n$及$a_{12}$
(2)$a_{1}=1, a_{n}=-512, S_{n}=-1022$,求$d$.
分析合理地使用等差数列前$n$项和公式,并注意其变形及方程思想的应用.
反思
$a_{1}, d_{,} n$称为等差数列的三个基本量,$a_{n}$和$S_{n}$都可以用这三个基本量来表示,五个量$a_{1}, d, n, a_{n}, S_{n}$中可知三求二,即等差数列的通项公式及前$n$项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前$n$项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在具体求解过程中,应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【变式训练2】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,
(1$a_{1}=\frac{5}{6}, a_{n}=-\frac{3}{2}, S_{n}=-5$,求$n$和$d$;
(2)$a_{1}=4, S_{8}=172$,求$a_{8}$和d;
(3)已知$d=2, a_{n}=11, S_{n}=35$,求$a_{1}$和$n$.
等差数列前$n$项和的最值问题
【例3】 数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列,$a_{1}=50, d=-0.6$.
(1)该数列前多少项都是非负数?
(2)求此数列的前$n$项和$S_{n}$的最大值.
分析(1)求不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a_{m} \geq 0} \\ {a_{m+1}<0}\end{array}\right.$.的正整数解即可
(2)既可以从项的正负考虑,也可以利用等差数列的前$n$项和公式是关于$n$的二次函数,考虑对应二次函数的最值.
反思
求等差数列的前$n$项和$S_{n}$的最值有两种方法:(1)由二次函数的最值特征得解.
$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=\frac{d}{2} n 2+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n \\ =\frac{d}{2}\left(-n+\frac{a_{1}-\frac{d}{2}}{d}-\right)^{2}-$
$\frac{a_{1}-\frac{d}{2} )^{2}}{2 d}=\frac{d}{2}\left[n-\left(\frac{1}{2}-\frac{a_{1}}{2}\right)\right]^{2}-\frac{d}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{a_{1}}{d}\right)^{2}$
由二次函数的最大值、最小值知识及$n \in \mathbf{N}^{*}$知,当$n$取最接近$\frac{1}{2}-\frac{a_{1}}{d}$ 的正整数时,$S_{n}$取到最大值(或最小值).值得注意的是最接近$\frac{1}{2}-\frac{a_{1}}{d}$ 的正整数可能有1个,也可能有2个.
(2)根据项的正负来定.
①首项$a_{1}>0$,公差$d < 0$,当m满足$\left\{\begin{array}{l}{a_{m} \geq 0} \\ {a_{m+1} < 0}\end{array}\right.$时,前n项和$S_{n}$的最大值是$S_{m}$.
②首项$a_{1} < 0$,公差$d>0$,当$m$满足$\left\{\begin{array}{l}{a_{m} \leq 0} \\ {a_{m+1}>0}\end{array}\right.$时,前$n$项和$S_{n}$的最小值是$S_{m}$.
【变式训练3】 在等差数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{1}=25, S_{9}=S_{17}$,求其前$n$项和$S_{n}$的最大值.
易错辨析
易错点:忽略$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$成立的条件致错
【例4】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+2$,求此数列的通项公式
反思
已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和$S_{n}$与$a_{n}$的关系求$a_{n}$,一般使用公式$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n \geqslant 2)$,但必须写明它成立的条件:$n \in \mathbf{N}^{*}, n \geqslant 2$,忽视了这一点往往会导致错误.
