高中数学网等差数列的综合应用
2.掌握等差数列前$n$项和的性质及其应用.
3.能够利用等差数列的前$n$项和公式解决实际应用问题.
等差数列
(1)定义:一般地,如果一个数列从第___项起,每一项与它的前一项的___都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的______,公差通常用字母d表示.
(2)公式:若数列$\left\{a_{n}\right\}$是公差为$d$的等差数列,则有$a_{n}=a_{1}+(n-1)d $,
$S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d \\ =\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$
【做一做1-1】 等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的公差$d=2, a_{1}=1$,则 ( ).
$\mathrm{A} . a_{n}=2 n, S_{n}=n^{2} \quad$
B. $a_{n}=n, S_{n}=n^{2}+n$$\mathrm{C} . a_{n}=2 n-1, S_{n}=n^{2} \quad $
${D} . a_{n}=2 n-1, S_{n}=n^{2}-n$答案:C
【做一做1-2】 等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$n$项和为$S_{n}$,且$S_{3}=6, a_{1}=4$,则公差$d$等于( ).
$A .1$ $\mathrm{B} \cdot \frac{5}{3} \mathrm{C} \cdot-2 \mathrm{D} .3$
答案:C
等差数列前$n$项和的性质
剖析数列$\left\{a_{n}\right\}$是公差为$d$的等差数列,其前$n$项和具有下列性质:
$(1) S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$
$S_{2 n}-S_{n}=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{2 n} \\ =\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)+n^{2} d$
$S_{3 n}-S_{2 n}=a_{2 n+1}+a_{2 n+2}+\ldots+a_{3 n} \\ =\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)+2 n^{2} d$
则$S_{n}, S_{2 n}-S_{n}, S_{3 n}-S_{2 n}$是公差为$n^{2} d$的等差数列,且有$S_{n}+S_{3 n^{-}} S_{2 n}=2\left(S_{2 n^{-}} S_{n}\right)$.
名师点拨$S_{n}, S_{2 n} S_{3 n}$不一定成等差数列,这一点要切记!
(2)若项数为$2n$,则
(3)若项数为$2 n-1$,则
(4)若等差数列$\left\{b_{n}\right\}$的前$n$项和为$T_{n}$,则有
$\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{2 a_{n}}{2 b_{n}}=\frac{a_{1}+a_{2 n-1}}{b_{1}+b_{2 n-1}}=\frac{\frac{(2 n-1)\left(a_{1}+a_{2 n-1}\right)}{2}}{\frac{(2 n-1)\left(b_{1}+b_{2 n-1}\right)}{2}}=\frac{S_{2 n-1}}{T_{2 n-1}}$
等差数列前n项和性质的应用
【例1】 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求其前110项之和.
分析本题的基本解法是求$a_{1}, d$或令$S_{n}=a n^{2}+b n$,先求$S_{n}$,再求$S_{110}$,或利用性质求解.
反思
1.先利用已知求出$a_{1}, d$,再求所求的量,这是基本解法,有时运算量较大,如本题解法一.
2.我们也可以利用等差数列前$n$项和的性质,或利用等差数列通项公式的性质,这两种解法可简化运算,是最优解法,如本题解法三和解法四.
【变式训练1】 等差数列$\left\{a_{n}\right\}$的前m项和为30,前$2m$项和为100,求数列$\left\{a_{n}\right\}$的前$3m$项的和$S_{3 m}$.
实际应用问题
【例2】 某长江抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一个堤坝作为一道防线.经计算,除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外,还需用20台同型号的翻斗车,平均每辆车要工作24 h才能完成任务.但目前只有一辆车投入施工,其余的需从附近高速公路上抽调,每隔20 min能有一辆车到达,且指挥部最多还可调集24辆车,那么在24 h内能否构筑成这道防线?
分析这25辆车分别工作的时间按一定顺序排起来,组成一个等差数列,计算出这25辆车可以工作的时间,即这个等差数列的前25项和,如果大于或等于总共需要工作的时间,就能构筑成这道防线,否则不能.
反思
有关数列的应用问题,应先通过对实际问题的研究建立关于数列的数学模型,然后求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:(1)问题中所涉及的数列$\left\{a_{n}\right\}$有何特征?
(2)是求数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项还是求其前$n$项和?
(3)列出等式(或方程)求解.
(4)怎样求解?
(5)答案是怎样的?
【变式训练2】 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1 min走2 m,以后每分钟比前1 min多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1 min多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?
易错辨析
易错点:用错等差数列的性质致错
【例3】 已知两个等差数列$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$,它们的前$n$项和分别记为$S_{n}, T_{n}$，若$\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{n+3}{n+1}$，求$\frac{a_{10}}{b_{10}}$.
反思
两个等差数列第$n$项的比等于它们前$(2 n-1)$项和的比,不等于它们前$n$项和的比.
