高中数学网数列的概念与简单表示法
2.理解数列的通项公式及其简单应用.
3.理解数列与函数间的关系.
4.能根据数列的前几项写出一个通项公式.
1.数列
(1)定义:按照一定顺序排列的一列数称为___列.
(2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的___.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第___位的数称为这个数列的第$n$项.
(3)表示:数列的一般形式可以写成:$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \dots$,简记为$\left\{a_{n}\right\}$.$a_{n}$表示数列中的第$n$个数.
【做一做1】 下列说法错误的是( ).
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,若$a_{1}=3$,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列$-1,0,1,2$与数列$0,1,2,-1$不相同
D.数列中的项不能是三角形
答案:B
2.数列的分类
(1)按数列的项数是否有限分类.
项数______的数列叫做有穷数列;项数______的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的项的变化趋势分类.
类别
含义
递增数列
从第2项起,每一项都______它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都______它的前一项的数列
常数列
各项______的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
名师点拨在写数列时,对于有穷数列,要把末项(有穷数列的最后一项)写出,如数列$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \ldots, \frac{1}{2^{n-1}}$表示有穷数列;但如果把数列写成$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \frac{1}{2^{3}}, \ldots, \frac{1}{2^{n-1}}, \dots$或$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \frac{1}{2^{3}}, \dots$则表示无穷数列.
【做一做2】 若数列$5,4,3, m, \ldots$…,是递减数列,则$m$的取值范围是______.
答案:$(-\infty, 3)$
3.数列的通项公式
如果数列$\left\{a_{n}\right\}$的第$n$项与______之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
归纳总结
1.已知通项公式$a_{n}=f(n)$,则只需依次用$1,2,3,…$代替公式中的n,就可以求出这个数列的各项.2.一个数列的通项公式可以有不同的形式,如$a_{n}=(-1)^{n}$可以写成$a_{n}=(-1)^{n+2}$,还可以写成
这些通项公式形式上虽然不同,但都表示同一数列.
3.数列的通项公式也可用一个分段函数表示.例如,函数$1,0,1,0,…$的通项公式可以表示为
4.数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式.
5.并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
【做一做3】 在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{n}=3^{n-1}$,则$a_{2}$等于( ).
$A.2 B.3 C.9 D.32$
答案:$B$
1.对数列有关概念的理解
剖析要准确理解数列的定义,需特别注意定义中的两个关键词:“一列数”,即不止一个数;“一定顺序”,即数列中的数是有顺序的.同时还要注意以下五点:
(1)数列中项与项之间用“,”隔开.
(2)数列中的项通常用$a_{n}$表示,其中下标n表示项的位置序号,即$a_{n}$为第$n$项.
(3)与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质:
①确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.(与集合相同)
②可重复性:数列中的数可以重复.(与集合不同)如数列$1,1,1$,而由$1,1,1$组成的集合是$\{1\}$.
③有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序有关.(与集合不同)如$1,3,4$与$1,4,3$代表不同的数列,而集合$\{1,3,4\}$与$\{1,4,3\}$却是相同的.
(4)“项”与序号n是不同的:数列的项是这个数列中某一个确定的数,它实质上是序号n的函数值$f(n)$;而序号则是指该项在这个数列中的位置序号.另外,序号与项数也是不同的概念,项数表示整个数列共有多少项.
(5)$\left\{a_{n}\right\}$与$a_{n}$是两个不同的概念:$\left\{a_{n}\right\}$表示数列$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \dots$,而$a_{n}$只表示数列的第n项.
2.数列与函数的关系
剖析对于数列$\left\{a_{n}\right\}$中的每一项的序号n与这一项$a_{n}$的对应关系可以看作序号集合到另一个数的集合的映射.例如数列$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$,可用映射表示,如图
(1)数列是一个以正整数作为自变量的特殊函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.如由数列是定义在$\mathbf{N}^{*}$或它的子集$\{1,2,3, \ldots, n\}$上的函数,可知$a_{n}$是$n$的函数,即$a_{n}=f(n)$.因此当$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式的一端的某个“n”用某个数或某个式子或某个记号代替后,则两端的所有的“$n$”必须用同一个数或式子或记号代替.如已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=3 n-\frac{1}{n^{2}}$,若$b_{n}=a_{2 n-1}$,求数列$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式时,就能用上述方法:$b_{n}=a_{2 n-1}=3(2 n-1)-\frac{1}{(2 n-1)^{2}}$.
(2)要注意数列的特殊性(离散型).由于它的定义域是$\mathbf{N}^{*}$或$\{1,2, \ldots, n\}$,因此它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究的初等函数一般都是连续的曲线.在解决数列问题时,要充分利用这一特殊性.
知识拓展
类似于函数的三种表示法,数列也相应地有三种表示法:(1)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是项的序号,第二行是对应项的值.比如:
$n$
$1$
$2$
$3$
$\cdots$
$n$
$\cdots$
$a_{n}$
$a_{1}$
$a_{2}$
$a_{2}$
$\cdots$
$a_{n}$
$\cdots$
(2)解析法:用数列的通项公式来表示数列.如,在数列$\left\{a_{n}\right\}$中,$a_{n}=2 n-3$,也可以写为$\{2 n-3\}$.
(3)图象法:在平面直角坐标系中,画出点$\left(n, a_{n}\right)$,这些点就表示一个数列.
3.常见数列的通项公式
剖析(1)数列$-1,1,-1,1, \ldots$的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}$,数列1,-1,1,-1,…的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n+1}$或$(-1)^{n-1}$.
(2)数列$1,2,3,4, \ldots$的通项公式是$a_{n}=n$.
(3)数列$1,3,5,7, \ldots$的通项公式是$a_{n}=2 n-1$.
(4)数列$2,4,6,8, \dots$的通项公式是$a_{n}=2 n$.
(5)数列$1,2,4,8, \dots$的通项公式是$a_{n}=2^{n-1}$.
(6)数列$1,4,9,16, \dots$的通项公式是$a_{n}=n^{2}$.
(7)数列$1,3,6,10, \dots$的通项公式是$a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$.
(8)数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$的通项公式是$a_{n}=\frac{1}{n}$.
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例1】 写出下列数列的一个通项公式:
(1) $\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{2}, 8, \frac{25}{2}, \ldots$
(2) $1,-3,5,-7,9, \ldots$
(3) $9,99,999,9999, \ldots ;$
(4) $\frac{2^{2}-1}{1}, \frac{3^{2}-2}{3}, \frac{4^{2}-3}{5}, \frac{5^{2}-4}{7}, \ldots$
分析经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律.
反思
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,实际上是归纳、总结,找出前几项的共同特点的过程,各项与其序号的关系式就是一个通项公式.其归纳、总结的方法是:将数列的前几项恒等变形为统一的代数式形式,并且这个代数式中仅有一处是不同的,是变化的,并且变化的规律是随着序号每次增加1,用$n$来替换代数式中变化的地方,替换后的代数式就是数列的通项公式.
对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用$(-1)^{k}$处理符号.
若各项是分数,可对分子、分母分别观察.
写出来的通项公式的正确性也可以验证,令通项公式中的$n=1,2,3, \ldots$得到数列的前几项,看看是否与实际相符;若符合,则写出的通项公式是正确的;否则,是错误的.
【变式训练1】 根据下列数列的前几项,写出各数列的一个通项公式.
$(1)-1,7,-13,19, \ldots$;
$(2) 0.8,0.88,0.888, \ldots$;
(3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4},-\frac{5}{8}, \frac{13}{16},-\frac{29}{32}, \frac{61}{64}, \ldots$;
(4) $\frac{3}{2}, 1, \frac{7}{10}, \frac{9}{17}, \ldots$
通项公式的应用
【例2】 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=3 n^{2}-28 n$.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49是不是该数列的一项?如果是,是第几项?68是否是该数列的一项呢?
分析(1)令$n=4, n=6$,分别代入通项公式,即可求得$a_{4}, a_{6} \cdot(2)$令$a_{n}=-49$和68,求得n值,若$n \in \mathbf{N}^{*}$,则是该数列的项;否则,不是该数列的项.
反思
1.当已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式$a_{n}=f(n)$求某一项$a_{m}$时,用$m$代替$f(n)$中的$n$即可.
2.判断某数$k$是否为数列$\left\{a_{n}\right\}$中的项,需先假定它是数列中的项,列方程$a_{n}=f(n)=k$求解.若方程有解,且为正整数,则该数是数列中的项;若方程无解或有解,但不是正整数,则数$k$不是此数列中的项.
【变式训练2】 (1)已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式
是
则$a 2 \cdot a_{3}$等于( ).A.70 B.28 C.20 D.8
按项的变化趋势对数列分类
【例3】 (1)判断数列$1, \sqrt{2}, \sqrt{3},-2$是不是递增数列
(2)已知数列$\left\{a_{n}\right\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n}{2 n-1}$,按项的变化趋势判断
该数列应是哪一类数列.
反思
按项的变化趋势对数列分类的步骤:
(1)当给出数列的全部项时,按递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义来确定.
(2)当给出数列的通项公式时,常常用作差的方法,通过判断差的符号来确定.对$n \in \mathbf{N}^{*}$,
当$a_{n+1}-a_{n}>0$时,$\left\{a_{n}\right\}$为递增数列;
当$a_{n+1}-a_{n} < 0$时,$\left\{a_{n}\right\}$为递减数列;
当$a_{n+1}-a_{n}=0$时,$\left\{a_{n}\right\}$为常数列;
当$a_{n+1}-a_{n}$的符号不确定时,$\left\{a_{n}\right\}$为摆动数列.
【变式训练3】 已知下列数列:
$(1) 2,4,8,12$
$(2) 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \ldots, \frac{n-1}{n}, \ldots$
$(3) 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots, \frac{1}{2^{n-1}}, \ldots$
$(4) 1,-\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \ldots, \frac{(-1)^{n-1} \cdot n}{2 n-1}, \ldots$
$(5) 1,0,-1, \ldots, \sin \frac{n \pi}{2}, \ldots$
$(6) 6,6,6,6,6,6$
其中,有穷数列是__________,无穷数列是__________,递增数列是__________,递减数列是__________,常数列是__________,摆动数列是__________,周期数列是__________.(将正确答案的序号填在横线上)
易错辨析
易错点:忽略$n$的取值范围致错
【例4】 求数列$\left\{-2 n^{2}+29 n+3\right\}$中的最大项.
反思
数列是一个特殊的函数,在用函数的有关知识求解数列问题时,要注意它的定义域是$\mathbf{N}^{*}$(或$\mathbf{N}^{*}$的有限子集$\{1,2, \ldots, n\} )$这一约束条件.
