高中数学网生活中的优化问题举例
2.会利用导数解决某些实际问题.
1.生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
2.用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值.
3.解决优化问题的基本思路:
【做一做1】 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} . \sqrt[3]{V}} & {\mathrm{B} \cdot \sqrt[3]{2 V}} \\ {\mathrm{C} \cdot \sqrt[3]{4 V}} & {\mathrm{D} .2 \sqrt[3]{V}}\end{array}$
解析:设底面边长为$x(x>0)$),
则表面积为$S=\frac{\sqrt{3}}{2} x 2+\frac{4 \sqrt{3}}{x} V . S^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{x^{2}}(x 3-4 V)$
令$S^{\prime}=0$,得$x=\sqrt[3]{4 \mathrm{V}}$
答案:C
【做一做2】 把长60 cm的铁丝围成矩形,当长为______cm,宽为______cm时,矩形面积最大.
解析:设长为$x \mathrm{cm}$,则宽为$(30-x) \mathrm{cm}$,
所以面积$S=x(30-x)=-x^{2}+30 x$.
由$S^{\prime}=-2 x+30=0$,得$x=15,30-x=15$.
答案:15 15
1.求解应用问题的方法
剖析解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言.要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.对于这类问题,我们往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍.
运算不过关,就得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路.在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻求有利于问题解决的新的途径和方法,并从中进行一番选择.
2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
剖析(1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式$y=f(x)$.
(2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.
(3)求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值.
(4)下结论,紧扣题目,给出fun88网上娱乐满的答案.
题型一 面积、容积最大问题
【例1】 用长为90 $\mathrm{cm}$,宽为48 $\mathrm{cm}$的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转$90^{\circ}$角,再焊接起来(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
分析设出容器的高,进而求出容器的长和宽,表示出容积V,然后利用导数求最值.
反思
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式$y=f(x)$;
(2)求函数的导数$f^{\prime}(x)$,解方程$f^{\prime}(x)=0$;
(3)比较函数在区间端点和使$f^{\prime}(x)=0$的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)写出实际问题的答案.
【变式训练1】 要做一个fun88网上娱乐锥形漏斗,其母线长为20 $\mathrm{cm}$,要使体积最大,则其高应为( )
$\mathrm{A} \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{3} \mathrm{cmB} . \frac{10 \sqrt{3}}{3} \mathrm{cmC.} 5 \sqrt{3} \mathrm{cmD} \cdot \frac{20 \sqrt{3}}{3} \mathrm{cm}$
题型二 费用(用材)最省问题
【例2】 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10 000平方米,该中心每块球场的建设面积为1 000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场$\mathcal{X}$块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用$f(x)=800\left(1+\frac{1}{5} \ln x\right)$来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?
反思注意利用导数的方法解决实际问题时,如果在定义区间内只有一个点使$f^{\prime}(x)=0$,且函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道该点的函数值就是最大(小)值.
【变式训练2】 fun88网上娱乐柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
题型三 利润最大问题
【例3】 已知某商品生产成本$C$与产量$q$的函数关系式为$C=100+4 q$,价格$p$与产量$q$的函数关系式为$p=25-\frac{1}{8} q$,求产量$q$为何值时,利润L最大?
分析利润$L$等于收入$R$减去成本$C$,而收入R等于产量乘价格,由此可得出利润$L$与产量$q$的函数关系式,再用导数就可求最大利润.
反思
解本题的关键是根据题意列出函数关系式,利用导数求最值.这种方法运算量比较小,且适用范围广,具有一般性.
【变式训练3】 在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量$p$是网箱个数$x$的一次函数,若放置4个网箱,则每个网箱的产量为16吨;若放置7个网箱,则每个网箱的产量为10吨,由于该水域面积限制,最多只能放置10个网箱.
(1)试问放置多少个网箱时,总产量Q最高?
(2)若该种鱼的市场价为0.25万元/吨,养殖的总成本为$(5 \ln x+1)$万元,应放置多少个网箱才能使总收益$y$最大?
题型四 易错辨析
易错点 求极(最)值时没考虑定义域而致错
【例4】 甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过$c \mathrm{km} / \mathrm{h}$,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度$v$(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为$b(b>0)$);固定部分为$a$元.
(1)把全程运输成本$y$(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
