双曲线及其标准方程

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.会求双曲线的标准方程.
知识点
  • 1.双曲线的概念

    (1)双曲线的定义.

    平面内与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离的差的绝对值等于非零常数(小于$\left|F_{1} F_{2}\right|$)的点的轨迹叫做双曲线.

    (2)双曲线的焦点与焦距.

    双曲线定义中的两个定点$F_{1}, F_{2}$叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距.

    归纳总结
    1.双曲线的定义中,在$0 < 2 a< \left|F_{1} F_{2}\right|$的条件下,当$\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a$时为双曲线的一支(靠近点$F_{2}$的一支);当$\left|P F_{2}\right|-\left|P F_{1}\right|=2 a$时为双曲线的另一支(靠近点$F_{1}$的一支).当$2 a=\left|F_{1} F_{2}\right|$时,$| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=2 a$表示两条射线;当$2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|$时,$| | P F_{1}|-| P F_{2}| |=2 a$不表示任何图形.

    2.双曲线定义的双向运用

    (1)若$\| M F_{1}|-| M F_{2}| |=2 a\left(0<2 a<\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$,则动点$M$的轨迹为双曲线;

    (2)若动点M在双曲线上,则$\| M F_{1}|-| M F_{2}| |=2 a$.

  • 【做一做1】 若动点$P$到点$M(1,0), N(-1,0)$的距离之差的绝对值为2,则点$P$的轨迹是(  )

    A.双曲线  B.双曲线的一支

    C.两条射线  D.一条射线

    答案:$C$

  • 2.双曲线的标准方程

    (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是

    $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,焦点$F _{1}(-C, 0), F _{2}(c, 0)$.

    (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是

    $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,焦点$F _{1}(0,-c), F _{2}(0, c)$.

    (3)在双曲线中,a,b,c的关系为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

    归纳总结给定双曲线的标准方程,若含$x^{2}$项的系数为正,则焦点在x轴上;若含$y^{2}$项的系数为正,则焦点在$y$轴上.双曲线的标准方程可统一为$m x^{2}+n y^{2}=1(m n < 0)$.

    【做一做2-1】 双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点坐标是(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot( \pm \sqrt{5}, 0)} & {\mathrm{B} \cdot(0, \pm \sqrt{5})} \\ {\mathrm{C} \cdot( \pm 1,0)} & {\mathrm{D.}(0, \pm 1)}\end{array}$

    答案:$A$ 

    【做一做2-2】 以$F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$为焦点,且经过点$M(3, \sqrt{15})$

    的双曲线的标准方程为___.

    解析:焦点在x轴上,可设标准方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$

    由双曲线的定义,得$\| M F_{1}|-| M F_{2}| |$

    $=1 \sqrt{7^{2}+(\sqrt{15})^{2}}-\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{15})^{2}}| \\ =| 8-4 |=4=2 a$

    则$a=2$.

    又$c=4$,则$b^{2}=c^{2}-a^{2}=12$.

    故双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

    答案:$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$

重难点
  • 1.求双曲线的标准方程的方法

    剖析求双曲线方程一般采用待定系数法,其解题方法是先定位,再定量.“定位”是指除了中心在原点之外,还要判断焦点在哪条坐标轴上,以便使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了焦点的位置.要求双曲线的标准方程,就要求出$a^{2}$和$b^{2}$这两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,按条件列出关于$a^{2}$和$b^{2}$的方程组,解得$a^{2}$和$b^{2}$的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指$a,b,c$等数值的确定.解题步骤为:首先判断焦点的位置,其次求出关键数据,最后写出双曲线方程.

    因此,确定一个双曲线的标准方程需要三个条件??两个定形条件$a,b$,一个定位条件??焦点坐标.

    求双曲线的标准方程的方法还有轨迹方程法.

  • 2.椭fun88网上娱乐网上娱乐和双曲线的比较

    剖析

     

    椭fun88网上娱乐网上娱乐

    双曲线

    定义

    $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right| \\ =2 a\left(2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$

    $| | P F_{1}|-| P F_{2}| | \\ =2 a\left(2 a<\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$

    方程

    $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1$

    $(a>b>0)$


    $\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} =1$

    $(a>b>0)$


    $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} \\ =1$

    $(a>0, \\ b>0)$


    $\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}} \\ =1$

    $(a>0, \\ b>0)$


    焦点

    $F( \pm c, 0)$

    $F(0, \pm c)$

    $F( \pm c, 0)$

    $F(0, \pm c)$

    知识拓展  方程 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$既可以表示椭fun88网上娱乐网上娱乐又可以表示双曲线.

    当方程表示椭fun88网上娱乐网上娱乐时,$m, n$应满足$m>n>0$或$n>m>0$.

    当方程表示双曲线时,$m, n$应满足$m n < 0$,且当$m>0, n < 0$时,方程表示焦点在$x$轴上的双曲线;当$m < 0, n="">0$时,方程表示焦点在y轴上的双曲线.

    知道双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,但不知道焦点在哪一条坐标轴上,这时双曲线的方程可设为 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m n < 0)($或$m x^{2}+n y^{2}=1, m n < 0 )$.

例题解析
  • 题型一 双曲线的定义

    【例1】 若方程$\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双曲线,求$m$的取值范围.

    分析由双曲线的标准方程可知,方程 $\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双曲线,则$(2-m)(|m|-3) < 0$,解不等式即可得$m$的取值范围

    反思

    由方程判断曲线类型,先看其分母,再结合双曲线、椭fun88网上娱乐网上娱乐的不同要求,构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得. 

    【变式训练1】 “$3 < m < 5$”是“方程$\frac{x^{2}}{m-5}+\frac{y^{2}}{m^{2}-m-6}=1$表示双曲线”的(  ) .

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充要条件

    D.既不充分也不必要条件

  • 题型二 求双曲线的标准方程

    【例2】 (1)求与椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{5}=1$有共同焦点,且过点$(3 \sqrt{2}, \sqrt{2})$的双曲线的标准方程;

    (2)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点$P_{1,} P_{2}$的坐标分别为$(3,-4 \sqrt{2}),\left(\frac{9}{4}, 5\right)$,求双曲线的标准方程.

    分析第(1)题由椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程确定焦点坐标,可求得$c$值,设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,用待定系数法求得$a,b$;第(2)题可先设出标准方程,然后把点$P_{1}, P_{2}$的坐标代入方程,联立方程组,求出$a^{2}, b^{2}$的值.   

    反思

    求解双曲线的方程,主要是依据题目给出的条件确定$a^{2},b^{2}$的值,要注意焦点在哪条坐标轴上,求解的过程中也可以用换元思想.

    【变式训练2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:

    (1)$a=4$,经过点$A\left(1,-\frac{4 \sqrt{10}}{3}\right)$

    (2)经过点$(3,0),(-6,-3)$.

  • 题型三 双曲线定义的应用

    【例3】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别是$F _{1}, F _{2}$,若双曲线上一点$P$使得$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$,求$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积.

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    分析如图,$S_{\Delta F_{1} P F_{2}}=\frac{1}{2}|P F _{1}| \cdot\left|P F_{2}\right|$,结合双曲线的定义可求出$\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$的值,面积即可求得.   

    反思

    此类问题一般结合双曲线的定义和正弦定理、余弦定理来解决,注意整体思想的应用.

    【变式训练3】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别是$F _{1}, F _{2}$,若双曲线上一点$P$使得$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$,求$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积.

    分析利用双曲线的定义及余弦定理求解. 

  • 题型四 易错辨析

    易错点 忽略焦点的位置致错

    【例4】 已知双曲线$2 x^{2}-y^{2}=k$的焦距为6,求$k$的值.

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