椭fun88网上娱乐网上娱乐的简单几何性质(一)
2.会根据椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程画出它的几何图形,能根据几何性质解决一些简单的问题.
椭fun88网上娱乐网上娱乐的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x轴上
焦点在 y轴上
图形
标准方程
$\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
$\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
范围
$-a \leq x \leq a, \\ -b \leq y \leq b$
$-b \leq x \leq b, \\ -a \leq y \leq a$
顶点
$A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$
$B_{1}(0,-b), B_{2}(0, b$
$A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$
$B_{1}(-b, 0), B_{2}(b, 0)$
轴长
长轴长 =2$a\left(\left\lfloor A_{1} A_{2} |\right)\right.$,短轴长 =2$b\left(\left|B_{1} B_{2}\right|\right)$
焦点
$F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$
$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$
焦距
2c
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点(0,0)
离心率
$e=\frac{c}{a}(0 < e < 1)$
【做一做1】 若椭fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+m y^{2}=1$的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则$m$的值为( )
A.$\frac{1}{2}$ B.2 C.$\frac{1}{4}$ D.4
解析:椭fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+m y^{2}=1$的标准形式为$x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{m}}=1$,
∵焦点在$y$轴上,且长轴长是短轴长的2倍,
$\therefore \frac{1}{m}=4 . \therefore m=\frac{1}{4}$
答案:C
【做一做2】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+4 y^{2}=1$的离心率为( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{3}{4}$
$\mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{D} \cdot \frac{2}{3}$
解析:椭fun88网上娱乐网上娱乐方程化为标准形式是$x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}=1$,则$a^{2}=1, b^{2}=\frac{1}{4}, c ^{2}=\frac{3}{4}$,故$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
答案:A
【做一做3】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率$e$为 $\frac{1}{2}$,短轴长为2$\sqrt{3}$,则椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程为_____.
解析:设椭fun88网上娱乐网上娱乐的长轴长为$2a$,短轴长为$2b$,焦距为$2c$,则$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}, a=2 c$,且$b=\sqrt{3}$,
$\therefore a^{2}-c^{2}=4 c^{2}-c^{2}=3 c^{2}=b^{2}=3$
$\therefore c=1, a=2$
∴椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$或$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$或$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$
【做一做4】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$16x^{2}+9y^{2}=144$的焦点坐标是__________,顶点坐标是__________,焦距是__________,长轴长是__________,短轴长是__________.
答案:$(0, \sqrt{7}),(0,-\sqrt{7})$
$(3,0),(-3,0),(0,4),(0,-4) \quad 2 \sqrt{7} \quad 8 \quad 6$
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$中$a, b, c$的几何意义
剖析在方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$中,$a, b, c$的几何意义如图.
即$a, b, c$正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形的三边.
知识拓展 如上图,顶点$A_{1}\left(A_{2}\right)$是椭fun88网上娱乐网上娱乐上到$F_{2}\left(F_{1}\right)$距离最大的点,是到$F_{1}\left(F_{2}\right)$距离最小的点;顶点$B_{1}, B_{2}$是椭fun88网上娱乐网上娱乐上到x轴距离最大的点.
2.椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率
剖析椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦距与长轴长的比,称作椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率,记作$e=\frac{2 c}{2 a}=\frac{c}{a}$.由$a>c>0$,知$0 < e < 1$.
$e$越接近1,则$c$越接近$a$,从而$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$越小,因此椭fun88网上娱乐网上娱乐越扁;反之,$e$越接近$0,c$就越接近0,从而$b$越接近$a$,这时椭fun88网上娱乐网上娱乐就越接近fun88网上娱乐网上娱乐.当且仅当$a=b$时,$c=0$,这时两个焦点重合,图形变成fun88网上娱乐网上娱乐,方程为$x^{2}+y^{2}=a^{2}$.
可结合下列图形加强对上述说法的理解.
知识拓展 椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率在一定程度上刻画了椭fun88网上娱乐网上娱乐的扁平程度.
题型一 由方程求椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质
【例1】 求椭fun88网上娱乐网上娱乐$25 x^{2}+y^{2}=25$的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标.
分析本题可先把椭fun88网上娱乐网上娱乐方程化成标准方程,再确定$a, b, c$的值,从而求得椭fun88网上娱乐网上娱乐的相关性质.
反思
已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程讨论其性质时,应把椭fun88网上娱乐网上娱乐方程化成标准形式,找准$a$与$b$,才能正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.
【变式训练1】 求椭fun88网上娱乐网上娱乐$m^{2} x^{2}+4 m^{2} y^{2}=1(m>0)$的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
题型二 利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质求标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程:
(1)长轴长是6,离心率是$\frac{2}{3}$;
(2)焦点在$x$轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,焦距为6.
分析因为要求的是椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,所以可以先设出椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,再利用待定系数法求出参数$a, b, c$
反思
利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,通常采用待定系数法,其关键是根据已知条件去构造关于参数的关系式,利用解方程(组)求得参数.
【变式训练2】 求满足下列各条件的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程:
(1)已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的中心在原点,焦点在$y$轴上,其离心率$\frac{1}{2}$焦距为8;
(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为$\sqrt{3}$
题型三 求椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率
【例3】 在$\Delta A B C$中,$|A B|=|B C|, \cos B=-\frac{7}{18}$.若以$A,B$为焦点的椭fun88网上娱乐网上娱乐经过点$C$,则该椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率$e$=________.
反思
求椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率的常见思路:一是先求出$a,c$,再计算$e$;二是依据条件中的关系,结合有关知识和$a,b,c$的关系,构造关于$e$的方程,再求解.注意$e$的范围是$0 < e < 1$.
【变式训练3】 如图,已知$F_{1}$为椭fun88网上娱乐网上娱乐的左焦点,点$A,B$分别为椭fun88网上娱乐网上娱乐的右顶点和上顶点,$P$为椭fun88网上娱乐网上娱乐上的一点,当$P F_{1} \perp F_{1} A, P O / / A B(O$为椭fun88网上娱乐网上娱乐的中心$)$时,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率.
题型四 易错辨析
易错点 忽略焦点的位置致错
【例4】 若椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率$e=\frac{1}{2}$,则$k$的值为