fun88网上娱乐网上娱乐锥曲线与方程
2.掌握椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义、标准方程及几何图形.
一、椭fun88网上娱乐网上娱乐的有关概念
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义
把平面内与两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离之和等于常数(大于$\left|F_{1} F_{2}\right|$)的点的轨迹叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐.
2.椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点与焦距
椭fun88网上娱乐网上娱乐定义中两个定点$F_{1}, F_{2}$叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦点,两焦点间的距离叫做椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦距.
归纳总结 平面内一动点P到两个定点$F_{1}, F_{2}$的距离之和与两个定点$F_{1}, F_{2}$之间的距离的关系有三种情况:(1)当$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|>\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点P的轨迹为椭fun88网上娱乐网上娱乐;(2)当$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点P的轨迹为线段$F_{1} F_{2}$;(3)当$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|<\left|F_{1} F_{2}\right|$时,动点P的轨迹不存在.
【做一做1-1】 设P是椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的一点,$F_{1}, F _{2}$是椭fun88网上娱乐网上娱乐的两个焦点,则$|P F _{1}|+|P F _{2}|$等于( )
A.10 B.8 C.5 D.4
解析:因为椭fun88网上娱乐网上娱乐中$a^{2}=25$,所以$2 a=10$.
由椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义知$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a=10$.
答案:$A$
【做一做1-2】 到两个定点$F_{1}(-7,0)$和$F_{2}(7,0)$的距离之和为14的点$P$的轨迹是( )
A.椭fun88网上娱乐网上娱乐 B.线段
C.fun88网上娱乐网上娱乐 D.以上都不对
解析:因为$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=14=\left|F_{1} F_{2}\right|$,所以轨迹为线段$F_{1} F_{2}$.
答案:$B$
二、椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
1.焦点在x轴上的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.
2.焦点在y轴上的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.
3.$a,b,c$之间的关系是$a^{2}=b^{2}+c^{2}$.
归纳总结
1.当焦点$F_{1}, F_{2}$所在直线不是坐标轴或$F_{1} F_{2}$的中点不是原点时,椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程不是标准方程.2.求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程常用待定系数法,一般是先确定焦点所在的坐标轴,再求$a^{2}, b^{2}$的值.
3.在椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程中,都有$a>b>0, a>c>0$.
4.判断焦点的位置可根据其标准方程中$x^{2}, y^{2}$项的分母的大小来判定,即若$x^{2}$项的分母大,则焦点在$x$轴上;若$y^{2}$项的分母大,则焦点在$y$轴上.可简单记为“谁大在谁上”.
【做一做2-1】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1$的一个焦点为$(2,0)$,则椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程是( )
A. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1 \mathrm{B} \cdot \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
$\mathrm{C} x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1 \mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$
解析:由题知$a^{2}-2=4, \therefore a^{2}=6$.
$\therefore$所求椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程为$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$.
答案:D
【做一做2-2】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$4 x^{2}+9 y^{2}=1$的焦点坐标是( )
$\mathrm{A} \cdot( \pm \sqrt{5}, 0) \mathrm{B} \cdot(0, \pm \sqrt{5})$
$\mathrm{C} \cdot\left( \pm \frac{\sqrt{5}}{6}, 0\right) \mathrm{D} \cdot\left( \pm \frac{5}{36}, 0\right)$
解析:椭fun88网上娱乐网上娱乐$4 x^{2}+9 y^{2}=1$的标准形式为$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{9}}=1$,则$a^{2}=\frac{1}{4}, b ^{2}=\frac{1}{9}$,故$c^{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{5}{36}$,焦点坐标为$\left( \pm \frac{\sqrt{5}}{6}, 0\right)$.
答案:$C$
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义的应用
剖析(1)可以应用椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义和方程,把几何问题转化为代数问题,再结合代数知识来解题.而椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义与三角形的两边之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常利用“三角形两边之和大于第三边”这一结论处理.
(2)椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义式:$\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a\left(2 a>\left|F_{1} F_{2}\right|\right)$,在解题中经常将$\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$看成一个整体或者配方等灵活地应用.
(3)利用正弦定理、余弦定理处理$\triangle P F_{1} F_{2}$的有关问题.
2.利用待定系数法确定椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
剖析求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程常用待定系数法.首先,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定其焦点的位置,可用两种方法来解决问题.
(1)如果明确了椭fun88网上娱乐网上娱乐的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的椭fun88网上娱乐网上娱乐一定是标准形式,就可以利用待定系数法,首先建立方程,然后依据题设条件,计算出方程中的$a,b$的值,从而确定方程,有时方程有两个,即
如果明确焦点在$x$轴上,那么设所求的椭fun88网上娱乐网上娱乐方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$;
如果明确焦点在y轴上,那么设所求的椭fun88网上娱乐网上娱乐方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.
(2)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在$x$轴上还是在$y$轴上,那么方程可以设为$m x^{2}+n y^{2}=1(m>0, n>0, m \neq n)$,进而用待定系数法来求解.
3.求与椭fun88网上娱乐网上娱乐有关的轨迹方程的常用方法
剖析(1)定义法:
用定义法求椭fun88网上娱乐网上娱乐方程的思路是,先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义,若符合椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义,则用待定系数法求解即可.
(2)相关点法:
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.
用相关点法求轨迹方程的步骤:
①先设所求轨迹上的动点$P(x, y)$,再设具有某种运动规律$f(x, y)=0$上的动点$Q\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$;
②找出点$P, Q$之间坐标的关系,并表示为$\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=\varphi_{1}(x, y)} \\ {y^{\prime}=\varphi_{2}(x, y)}\end{array}\right.$
③将$x^{\prime}, y^{\prime}$代入$f(x, y)=0$,即得所求的轨迹方程.
知识拓展
1.在$|P M|=\lambda\left|M P^{\prime}\right|$中,当$\lambda=0$时,动点$M$与点$P$重合,点M的轨迹为一个点;当$\lambda \neq 0$时,动点M的轨迹为椭fun88网上娱乐网上娱乐.2.设点$A,B$的坐标分别为$(-a, 0),(a, 0)(a>0)$.直线$AM,BM$相交于点$M$,且它们的斜率之积为$m(m < 0)$,则当$m=-1$时,动点$M$的轨迹为一个fun88网上娱乐网上娱乐(去掉两点);当$m \neq-1$时,动点$M$的轨迹为一个椭fun88网上娱乐网上娱乐(去掉两点).
题型一 椭fun88网上娱乐网上娱乐定义的应用
【例1】 已知点$P$是椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的一点,$F 1$和$F 2$是焦点,且$\angle F_{1} P F_{2}=30^{\circ}$,求$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积.
分析可以先利用$a, b, c$三者的关系求出$\left|F_{1} F_{2}\right|$,再利用余弦定理求出$\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$,最后用正弦定理求出$S_{\Delta F_{1}} P F_{2}$
反思
在椭fun88网上娱乐网上娱乐中,由椭fun88网上娱乐网上娱乐上的点及两个焦点所组成的三角形(可称为焦点三角形)引出的问题很多,在处理这些问题时,经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等解决;还经常用到配方法、解方程及把$\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$看成一个整体等来处理.
【变式训练1】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), F _{1}, F _{2}$是它的焦点.过点$F_{1}$的直线$A B$与椭fun88网上娱乐网上娱乐交于$A,B$两点,求$\triangle A B F_{2}$的周长.
题型二 用待定系数法求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程
【例2】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐经过点$(\sqrt{3},-2)$和$(-2 \sqrt{3}, 1)$,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
分析因为不确定焦点所在的坐标轴,所以可设椭fun88网上娱乐网上娱乐方程为$m x^{2}+n y^{2}=1(m>0, n>0, m \neq n)$,用待定系数法求解;也可设 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$和$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,分别求解.
反思
当不明确焦点在哪条坐标轴上时,通常应进行分类讨论,但计算较烦琐,此时,可设椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程为$m x^{2}+n y^{2}=1(m>0, n>0, m \neq n)$,不必再考虑焦点的位置,用待定系数法结合题目给出的条件求出$m,n$的值即可.
【变式训练2】 (1)已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的两个焦点坐标分别是$(-2,0),(2,0)$,并且经过点$\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)$求它的标准方程
(2)若椭fun88网上娱乐网上娱乐经过两点$(2,0)$和$(0,1)$,求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程.
题型三 利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义求轨迹方程
【例3】 已知$B, C$是两个定点,$|B C|=8$,且$\triangle A B C$的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.
分析本题可先建立直角坐标系,再利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义得出点A的轨迹是椭fun88网上娱乐网上娱乐(去掉两点).
反思
利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义求轨迹方程,首先由条件找出动点所满足的条件,看其是否符合椭fun88网上娱乐网上娱乐的定义.若符合,利用待定系数法求椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程.
【变式训练3】 如图,在fun88网上娱乐网上娱乐$C :(x+1)^{2}+y^{2}=25$内有一点$A(1,0) \cdot Q$为fun88网上娱乐网上娱乐$C$上一点,$AQ$的垂直平分线与$C,Q$两点的连线交于点$M$,求点$M$的轨迹方程.
题型四 易错辨析
易错点 对椭fun88网上娱乐网上娱乐方程认识不到位致错
【例4】 若方程 $\frac{x^{2}}{5-k}+\frac{y^{2}}{k-3}=1$表示椭fun88网上娱乐网上娱乐,求$k$的取值范围.