高中数学网复数的几何意义
2.了解复数的几何意义.
3.理解复数的模的概念,会求复数的模.
1.复平面的定义
如图,点$Z$的横坐标是$a$,纵坐标是$b$,复数$z=a+b i$可用点$Z(a,b)$表
示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴
叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除了原点外,
虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即
这是复数的一种几何意义.
(2)如图,设复平面内的点$Z$表示复数$z=a+bi$,连接OZ,显然向量$\overrightarrow{O Z}$是由点Z唯一确定的;反过来,点$Z$(相对于原点来说)也可以由向量$\overrightarrow{O Z}$唯一确定.因此,复数集$C$与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见,我们常把复数$z=a+b i$说成点Z或说成向量$\overrightarrow{O Z}$,并且规定,相等的向量表示同一个复数.
【做一做1-1】 实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.
【做一做1-2】 若$\overrightarrow{O Z}=(0,-3)$,则$\overrightarrow{O Z}$对应的复数为( )
A.0 B.-3
C.-3i D.3
解析:由$\overrightarrow{O Z}=(0,-3)$,得点Z的坐标为(0,-3),则$\overrightarrow{O Z}$对应的复数为$0-3 i=-3 i$.故选C.
3.复数的模
复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$对应的向量为$\overrightarrow{O Z}$，则$\overrightarrow{O Z}$的模叫做复数$z$的模,记作$|z|$或$|a+b i|$,且$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.如果$b=0$,那么$z=a+b i$就是实数$a$,它的模等于$|a|$(就是实数$a$的绝对值).
【做一做2】 已知$z_{1}=5+3 i, z_{2}=5+4 i$,则下列各式正确的是( )
A.$z_{1}>z_{2}$ B.$z_{1} < z_{2}$
C.$\left|Z_{1}\right|>\left|z_{2}\right|$ D.$\left|z_{1}\right|<\left|z_{2}\right|$
解析:复数不能比较大小,排除选项$A,B$.
又$\left|z_{1}\right|=\sqrt{5^{2}+3^{2}},\left|z_{2}\right|=\sqrt{5^{2}+4^{2}}$,
则$\left|z_{1}\right|<\left|z_{2}\right|$.故选D.
答案:D
1.如何理解复数与复平面内的点、向量间的对应关系?
剖析:每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部作为一个有序实数对时,就和复平面内的点的坐标一样,从而可以用点来表示复数,复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从而复数也可以与复平面内的向量一一对应.
复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$与点$Z(a, b)$和向量$\overrightarrow{O Z}$的一一对应关系如下:
这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法来解决,而几何问题也可以用复数方法来解决(即数形结合法),这就增加了解决复数问题的途径.
此外,还应注意以下几点:
(1)复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$的对应点的坐标为$(a,b)$,而不是$(a,bi)$.
(2)复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是$i$.
(3)当$a=0$时,对任何$b \neq 0, a+b \mathrm{i}=0+b \mathrm{i}=b \mathrm{i}$是纯虚数,所以虚轴上的点$(0, b)(b \neq 0)$都表示纯虚数.
(4)复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$对应的向量$\overrightarrow{O Z}$是以原点$O$为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与向量$\overrightarrow{O Z}$相等的向量有无数多个.
(5)复数$z=a+b i(a, b \in \mathbf{R})$中的$z$,书写时应小写,复平面内的点$Z(a,b)$中的$Z$,书写时应大写.
2.如何理解复数的模?
剖析:从数的角度理解,可类比绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离来理解.
从形的角度理解,是该复数对应向量的模,也是向量起点与终点间的距离.
事实上,在实数集中,实数$a$的绝对值,即$|a|$是数轴上表示实数$a$的点与原点$O$间的距离.那么在复数集中,类似地,$|z|$是复平面内表示复数$z$的点$Z$到坐标原点间的距离,也就是向量$\overrightarrow{O Z}$的模,即$|z|=|\overrightarrow{O Z}|$.
题型一、复数的几何意义
【例1】 在复平面内,O是原点,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C,求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.
反思
1.复数与复平面内的点一一对应:复数的实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.
2.复数与复平面内的向量一一对应:复数的实部、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.
【变式训练1】
(1)已知复数$z_{1}=-3+4 \mathrm{i}, z_{2}=2 a+\mathrm{i}(a \in \mathbf{R})$对应的复平面内的点分别为$Z_{1}$和$Z_{2}$,且$\overrightarrow{O Z_{1}} \perp \overrightarrow{O Z_{2}}$,求实数$a$的值;
(2)在复平面内,若点P是复数$z=\left(m^{2}-m-2\right)+\left(m^{2}-3 m+2\right) \mathrm{i}(m \in \mathbf{R})$的对应点,请根据下列点$P$的位置分别求复数z.
①在虚轴上;
②在实轴负半轴上.
题型二、复数的模的求法
【例2】 求复数$z_{1}=3+4 i$及$z_{2}=-\frac{1}{2}-\sqrt{2} \mathrm{i}$的模,并比较它们的模的大小.
反思
复数$z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$的模就是向量$\overrightarrow{O Z}=(a, b)$的模,所以$|z|=|\overrightarrow{O Z}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.复数一般不能比较大小,但复数的模可以比较大小.
【变式训练2】 (1)已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于$\sqrt{10}$ ,则实数x的取值范围是( )
A.$-\frac{4}{5} < x < 2$ B.$x < 2$
C.$x>-\frac{4}{5}$ D.$x<-\frac{4}{5}$ x="">2$
(2)设复数$z=(x+1)+(x-3) \mathrm{i}, x \in \mathbf{R}$,则$|z|$的最小值为( )
A.1 B.2 C.2$\sqrt{2}$ D.4
题型三、复数模的意义
【例3】 已知$|x|=3$,对于下列条件,这个方程对应的图形各是什么?
(1)在数轴上;
(2)在复平面内,$x \in \mathbf{C}$.
反思
复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
【变式训练3】 设$z \in \mathbf{C}$,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
(1)$|z|=2$; (2)$2<|z| < 3$.
题型四、易错辨析
易错点:弄错复数与点的对应关系致错
【例4】 在复平面内,已知复数$z=x-\frac{1}{3} \mathrm{i}(x \in \mathbf{R})$所对应的点都在单位fun88网上娱乐内,则x的取值范围是________.
