分析法
2.会用分析法解决问题.
3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题.
定义
框图表示
特点
从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法
逆推证法或执果索因法
名师点拨综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相反的两种证明方法.分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,这两种方法各有所长.
【做一做】 要证明$\sqrt{a}+\sqrt{a+7}<\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a \geqslant 0)$,可选择的方法有多种,其中最合理的是( )
A.综合法 B.类比法 C.分析法 D.归纳法
解析:从要证明的不等式不易发现证明的出发点,类比法、归纳法更不可行,故应选择分析法,选C.
答案:C
1.怎样理解分析法?
剖析:(1)分析法是由结论到条件的逆推证法,它的思维特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻求它的充分条件.分析法是“执果索因”,一步步寻求使上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法.
(2)当不知从何入手时,有时可以运用分析法去获得解析,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效的方法.另外,对于恒等式的证明,也同样可以运用分析法.
2.综合法与分析法有什么联系?
剖析:在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用,根据条件的特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的特点去转化条件,得到中间结论P,若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.
用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当有所区别.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果,因此所用语气必须是肯定的;而在分析法中,就应当用假定的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就需先有B成立;如果要B成立,又只需C成立……这样从结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件.
知识拓展
综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述复杂;综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考.
题型一、利用分析法证明不等式
【例1】 当$a \geqslant 2$时,求证:$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}<\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$.
反思
用分析法证明不等式时的注意事项:
(1)用分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;
(2)用分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地使用符号“?”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.
【变式训练1】 设$a,b$为实数,求证:$\sqrt{a^{2}+b^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)$.
题型二、利用分析法证明几何问题
【例2】 证明:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
已知:如图,$\angle B A C$与$\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$中,$A B / / A^{\prime} B^{\prime}, A C / / A^{\prime} C^{\prime}$,且$A B, A^{\prime} B^{\prime}$的方向相同,$A C, A^{\prime} C^{\prime}$的方向相同.
求证:$\angle B A C=\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$.
分析:$\angle B A C$与$\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$在同一个平面内,它们不可能为对顶角,而且不是同一个三角形的两个角,也不可能用等腰三角形的性质去证明,所以只有构造两个三角形,使它们分别包含$\angle B A C$和$\angle B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}$,然后设法证明这两个三角形全等.
反思
应用分析法证明问题的模式(若$p$,则$q$形式)如下:
为了证明命题$q$为真,
只需证明命题$p_{1}$为真,从而有……
只需证明命题$p_{2}$为真,从而有……
……
只需证明命题$p$为真,而已知$p$为真,故$q$必为真.
【变式训练2】 已知非零向量$a,b$满足$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$,求证:$\frac{|a|+|b|}{|a-b|} \leq \sqrt{2}$.
题型三、综合应用
【例3】 已知$\triangle A B C$的三个内角$A,B,C$为等差数列,且$a,b,c$分别为角$A,B,C$的对边,求证:$(a+b)^{-1}+(b+c)^{-1}=3(a+b+c)^{-1}$.
反思
综合法和分析法各有优缺点,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,即先利用分析法寻求解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程.
【变式训练3】 若$\tan (\alpha+\beta)=2 \tan \alpha$,求证:$3 \sin \beta=\sin (2 \alpha+\beta)$.
题型四、易错辨析
易错点:分析法格式不对致错
【例4】 已知$a \geqslant-\frac{1}{2}, b \geqslant-\frac{1}{2}, a+b=1$,求证:$\sqrt{2 a+1}+\sqrt{2 b+1} \leq 2 \sqrt{2}$.