命题
2.了解命题的形式.
1.一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
【做一做1】 下列语句是命题的是( )
A.$\frac{\pi}{2}$ 是无限不循环小数
B.3x≤5
C.什么是“温室效应”?
D.给我把门打开!
解析:选项A,因为“$\frac{\pi}{2}$是无限不循环小数”是陈述句,并且可以判断它是真的,所以是命题;选项B,因为不确定x的值,无法判断“3x≤5”的真假,所以选项B不是命题;选项C是疑问句,选项D是祈使句,故都不是命题.
答案:A
2.判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
【做一做2】 下列命题是真命题的是( )
A.所有质数都是奇数
B.若$a>b$,则$a-6>b-6$成立
C.对任意的$x \in \mathbf{N}$,都有$x^{3}>x^{2}$成立
D.方程$x^{2}+x+1=0$有实根
解析:选项A是假命题,因为2是偶数也是质数;选项C是假命题,因为当x=0时,$x^{3}>x^{2}$不成立;选项D是假命题,因为$\Delta=1^{2}-4=-3 < 0$,所以方程$x^{2}+x+1=0$无实根.
答案:B
3.在数学中,“若p,则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
【做一做3】 把命题“垂直于同一个平面的两条直线互相平行”改写成“若p,则q”的形式为______.
答案:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线互相平行
归纳总结
命题既可用语言表达,又可用符号或式子表达;一般来说,命题是陈述句,而且还能判断真假.疑问句、祈使句、感叹句以及无法判断真假的陈述句都不是命题.
判断一个语句是不是命题的方法
剖析:判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件,只有同时满足这两个条件才是命题.如“这是一棵大树”就不是命题,因为“大树”没有界定标准,所以不能判断“这是一棵大树”的真假;“3x≥7”也不是命题,因为x是未知数,不能判断“3x≥7”是真还是假.但是,语句“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”可以算是命题,因为尽管目前我们还不能确定其真假,但随着科技的发展和时间的推移,总能判定它的真假.
题型一、判断一个语句是不是命题
【例1】 判断下列语句是不是命题,并说明理由:
(1)$\frac{\pi}{3}$ 是有理数;
(2)若$a$与$b$是无理数,则$ab$是无理数;
(3)3$x^{2} \leqslant 5$;
(4)梯形是不是平面图形呢?
(5)$x^{2}-x+7>0$;
(6)8$\geqslant 10$.
分析:根据命题的概念进行判断.
反思
判断一个语句是不是命题,一般把握住两点:①是不是陈述句;②能否判断真假,两者同时成立才是命题.注意不要把假命题误认为不是命题.
【变式训练1】 下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③若x,y都是无理数,则x+y也是无理数;
④请把门关上;
⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.
其中为命题的是__________.(填序号)
题型二、判断命题的真假
【例2】 判断下列命题的真假:
(1)已知$a, b, c, d \in \mathbf{R}$,若$a \neq c$或$b \neq d$,则$a+b \neq c+d$;
(2)若$m>1$,则方程$x^{2}-2 x+m=0$无实数根;
(3)空集是任何集合的真子集;
(4)垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
【变式训练2】 下列命题:
①若$a c^{2}>b c^{2}$,则$a>b$;
②若$\sin \alpha=\sin \beta$,则$\alpha=\beta$;
③若$f(x)=\log _{2} x$,则$f(|x|)$是偶函数.
其中真命题的序号是_________.
题型三、将命题改写成“若p,则q”的形式
【例3】 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
(1)当a>b时,ac>bc;
(2)在平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(3)同弧所对的fun88网上娱乐周角不相等.
反思
把命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式,其中p为命题的条件,q为命题的结论;要注意条件及结论的完整性,将条件写在前面,结论写在后面.“若p,则q”是命题的一般叙述形式,它的真假性等同于原来的命题.
不要认为假命题没有条件和结论,对于一个命题,无论是真命题还是假命题,它必须由条件和结论两个部分组成,只是有些命题的条件或结论不明显.
【变式训练3】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:
(1)函数$y=\lg x$是单调函数;
(2)相似三角形的对应角相等;
(3)当$a>1$时,函数$y=a^{x}$是增函数.
题型四、易错辨析
易错点 概念理解不清致错
【例4】 判断下列语句是不是命题:
(1)好人一生平安;
(2)$x \geqslant 3$.