命题

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.掌握命题的定义并会判断一些语句是不是命题以及命题的真假.
2.了解命题的形式.
知识点
  • 1.一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.

    【做一做1】 下列语句是命题的是(  )

    A.$\frac{\pi}{2}$ 是无限不循环小数

    B.3x≤5

    C.什么是“温室效应”?

    D.给我把门打开!


    解析:选项A,因为“$\frac{\pi}{2}$是无限不循环小数”是陈述句,并且可以判断它是真的,所以是命题;选项B,因为不确定x的值,无法判断“3x≤5”的真假,所以选项B不是命题;选项C是疑问句,选项D是祈使句,故都不是命题.

    答案:A

  • 2.判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

    【做一做2】 下列命题是真命题的是(  )

    A.所有质数都是奇数

    B.若$a>b$,则$a-6>b-6$成立

    C.对任意的$x \in \mathbf{N}$,都有$x^{3}>x^{2}$成立

    D.方程$x^{2}+x+1=0$有实根

    解析:选项A是假命题,因为2是偶数也是质数;选项C是假命题,因为当x=0时,$x^{3}>x^{2}$不成立;选项D是假命题,因为$\Delta=1^{2}-4=-3 < 0$,所以方程$x^{2}+x+1=0$无实根.

    答案:B

  • 3.在数学中,“若p,则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.

    【做一做3】 把命题“垂直于同一个平面的两条直线互相平行”改写成“若p,则q”的形式为______. 

    答案:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线互相平行

    归纳总结
    命题既可用语言表达,又可用符号或式子表达;一般来说,命题是陈述句,而且还能判断真假.疑问句、祈使句、感叹句以及无法判断真假的陈述句都不是命题.

重难点
  • 判断一个语句是不是命题的方法

    剖析:判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件,只有同时满足这两个条件才是命题.如“这是一棵大树”就不是命题,因为“大树”没有界定标准,所以不能判断“这是一棵大树”的真假;“3x≥7”也不是命题,因为x是未知数,不能判断“3x≥7”是真还是假.但是,语句“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”可以算是命题,因为尽管目前我们还不能确定其真假,但随着科技的发展和时间的推移,总能判定它的真假.

例题解析
  • 题型一、判断一个语句是不是命题

    【例1】 判断下列语句是不是命题,并说明理由:

    (1)$\frac{\pi}{3}$ 是有理数;

    (2)若$a$与$b$是无理数,则$ab$是无理数;

    (3)3$x^{2} \leqslant 5$;

    (4)梯形是不是平面图形呢?

    (5)$x^{2}-x+7>0$;

    (6)8$\geqslant 10$.

    分析:根据命题的概念进行判断.

    反思

    判断一个语句是不是命题,一般把握住两点:①是不是陈述句;②能否判断真假,两者同时成立才是命题.注意不要把假命题误认为不是命题.

    【变式训练1】 下列语句:

    ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?

    ②一个数不是正数就是负数;

    ③若x,y都是无理数,则x+y也是无理数;

    ④请把门关上;

    ⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.

    其中为命题的是__________.(填序号) 

  • 题型二、判断命题的真假

    【例2】 判断下列命题的真假:

    (1)已知$a, b, c, d \in \mathbf{R}$,若$a \neq c$或$b \neq d$,则$a+b \neq c+d$;

    (2)若$m>1$,则方程$x^{2}-2 x+m=0$无实数根;

    (3)空集是任何集合的真子集;

    (4)垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

    【变式训练2】 下列命题:

    ①若$a c^{2}>b c^{2}$,则$a>b$;

    ②若$\sin \alpha=\sin \beta$,则$\alpha=\beta$;

    ③若$f(x)=\log _{2} x$,则$f(|x|)$是偶函数.

    其中真命题的序号是_________. 

  • 题型三、将命题改写成“若p,则q”的形式

    【例3】 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:

    (1)当a>b时,ac>bc;

    (2)在平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行;

    (3)同弧所对的fun88网上娱乐周角不相等.

    反思

    把命题改写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式,其中p为命题的条件,q为命题的结论;要注意条件及结论的完整性,将条件写在前面,结论写在后面.“若p,则q”是命题的一般叙述形式,它的真假性等同于原来的命题.

    不要认为假命题没有条件和结论,对于一个命题,无论是真命题还是假命题,它必须由条件和结论两个部分组成,只是有些命题的条件或结论不明显.

    【变式训练3】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:

    (1)函数$y=\lg x$是单调函数;

    (2)相似三角形的对应角相等;

    (3)当$a>1$时,函数$y=a^{x}$是增函数.

  • 题型四、易错辨析

    易错点 概念理解不清致错

    【例4】 判断下列语句是不是命题:

    (1)好人一生平安;

    (2)$x \geqslant 3$.

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