高中数学网空间向量的正交分解及其坐标表示
2.掌握空间向量的基本定理,并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.
3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
1.设$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一向量p,存在一个有序实数组$\{x, y, z\}$,使得$\mathbf{p}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$,我们称$x \mathbf{i}, y \mathbf{j} . z \mathbf{k}$为向量p在$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$上的分向量.
2.空间向量基本定理:如果三个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不共面,那么对空间任一向量$p$,存在有序实数组$\{x, y, z\}$,使得$\mathbf{p}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}$.
归纳总结
若把定理中的向量$\mathbf{p}, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$分别用表示该向量的有向线段表示, 则可以得到下面的推论:设$O . A, B, C$是不共面的四点,则对空间任一点$P$,都存在有序实数组$\{x, y, z\}$,使$\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}$,当且仅当$x+y+z=1$时,$P, A, B, C$四点共面.
3.如果三个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不共面,那么所有空间向量组成的集合就是$\{\mathbf{p} | \mathbf{p}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}, x, y, z \in \mathbf{R}\}$.这个集合可看作是由向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$生成的,我们把$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$叫做空间的一个基底,$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$都叫做基向量.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$为有公共起点$O$的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),以$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$的公共起点$O$为原点,分别以$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$的方向为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向建立空间直角坐标系$O x y z$.那么,对于空间任意一个向量$p$,一定可以把它平移,使它的起点与原点$O$重合,得到向量$\overrightarrow{O P}=\mathbf{p}$ .由空间向量基本定理可知,存在有序实数组$\{x, y, z\}$,使得$\mathbf{p}=x \mathbf{e}_{1}+y \mathbf{e}_{2}+z \mathbf{e}_{3}$.
我们把$x \cdot y, z$称作向量$p$在单位正交基底$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$下的坐标,记作$\mathbf{p}=(x, y, z)$.
【做一做1】 已知$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$是空间向量的一个基底,则可以与向量$\mathbf{p}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{q}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$构成基底的向量是( )
$\begin{array}{ll}{A \cdot a} & {B \cdot b} \\ {C \cdot a+2 b} & {D \cdot a+2 c}\end{array}$
解析:空间构成一个基底的条件是三个向量不共面,故只有D选项满足条件.
答案:D
【做一做2】 有以下三个命题:
①三个非零向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不能构成空间的一个基底,则$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$共面;
②若两个非零向量$a,b$与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则$a,b$共线;
③若$a,b$是两个不共线向量,而$\mathbf{c}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}(\lambda, u \in \mathbf{R}$,且$\lambda \mu \neq 0$,则$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$共面,故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$是空间向量的一个单位正交基底,$\mathbf{a}=3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}-\mathbf{k}, \mathbf{b}=-2 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}+2 \mathbf{k}$,则向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的坐标分别是_________.
答案:$(3,2,-1),(-2,4,2)$
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不共面,过点$O$作$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}, \overrightarrow{O C}=\mathbf{c}, \overrightarrow{O P}=\mathbf{p}$;
②平行投影:过点P作直线$P P^{\prime} / / C C$,交平面$O A B$于点$P^{\prime}$,在平面$OAB$内过点$P^{\prime}$作$P^{\prime} A^{\prime} / / O B, P^{\prime} B^{\prime} / / O A$,分别与直线$OA,OB$交于点$A^{\prime}, B^{\prime}$;
③表示:于是存在三个实数$x, y, z$,使$\overrightarrow{O A^{\prime}}=x \overrightarrow{O A}=x \mathbf{a}, \\ \overrightarrow{O B^{\prime}}=y \overrightarrow{O B}=y \mathbf{b}, \\ \overrightarrow{P^{\prime} P}=z \overrightarrow{O C}=z \mathbf{c}$
④求和代入:$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P^{\prime}}+\overrightarrow{P^{\prime} P} \\ =\overrightarrow{O A^{\prime}}+\overrightarrow{O B^{\prime}}+\overrightarrow{P^{\prime} P} \\ =x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}$
所以$\mathbf{p}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}$(2)唯一性:设还有实数$x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$,使$\mathbf{p}=x^{\prime} \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z^{\prime} \mathbf{c}$,而$\mathbf{p}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}$,
则$x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}=x^{\prime} \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z^{\prime} \mathbf{c}$,
所以$\left(x-x^{\prime}\right) \mathbf{a}+\left(y-y^{\prime}\right) \mathbf{b}+(z-z) \mathbf{c}=\mathbf{0}$.
又$a,b,c$不共面,所以$x-x^{\prime}=0, y-y^{\prime}=0$,且$z-z^{\prime}=0$,即$x=x^{\prime}, y=y^{\prime}$,且$z=z^{\prime}$.
所以$\mathbf{p}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}$的表示形式是唯一的.
2.空间向量的坐标表示
剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$或$\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\}$表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点$O$和一个单位正交基底$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$,以点$O$为原点,分别以$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$的方向为正方向画三条数轴:$x$轴、$y$轴、$z$轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系$Oxyz$,点$O$叫原点,向量$\mathbf{I}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$都叫做坐标向量.
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量$\mathbf{a}$,且设$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$为坐标向量,则存在有序实数组$\{x, y, z\}$,使$\mathbf{a}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$,把$x, y, z$叫做$a$在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记为$\mathbf{a}=(x, y, z)$
对于空间坐标系中任一点A,对应一个向量$\overrightarrow{O A}$,则($\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$.在单位正交基底$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$中与向量$\overrightarrow{O A}$对应的有序实数组$\{x, y, z\}$,叫做点$A$在此空间直角坐标系中的坐标,记为$A(x, y, z)$.在写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.
(4)空间任一点$P$的坐标的确定.过点$P$作平面$x O y$的垂线,垂足为点$P^{\prime}$，在平面$xOy$中,过点$P^{\prime}$分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点$A, C$,则$|x|=\left|P^{\prime} C\right|,|y|=\left|A P^{\prime}\right|,|z|=\left|P P^{\prime}\right|$,如图所示.
基底的概念
【例1】 若{$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$是空间的一个基底,试判断$\{a+b, b+c, c+a\}$能否作为空间的一个基底.
分析:解答本题可以使用反证法,判断$a+b, b+c, c+a$是否共面,若不共面,则可作为一个基底;否则,不能作为一个基底.
反思
判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是看它们是否共面,常用反证法来判断.【变式训练1】 设$\mathbf{x}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{y}=\mathbf{b}+\mathbf{c}, \mathbf{Z}=\mathbf{c}+\mathbf{a}$，且$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$是空间的一个基底,给出下列向量组:①$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{x}\}$,②$\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{Z}\}$,③$\{\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{Z}\}$,④$\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}\}$,其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
用基底表示向量
【例2】 如图所示,在空间四边形$O A B C$中,G,H分别是$\triangle A B C, \triangle O B C$的重心,设$\overrightarrow{O A}=\mathbf{a}, \overrightarrow{O B}=\mathbf{b}, \overrightarrow{O C}=\mathbf{c}$.试用向量a,b,c表示向量$\overrightarrow{G H}$
分析:要用向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$表示向量$\overrightarrow{G H}$就是要找到一组有序实
x,y,z,使$\overrightarrow{G H}=x \mathbf{a}+y \mathbf{b}+z \mathbf{c}$,这主要是用向量的加减法,并结合图形的几何性质入手,看$\overrightarrow{G H}$可以由哪些向量的和或差得到.
反思
利用空间向量的一个基底$\{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$可以表示出任意一个空间向量.要注意结合图形,灵活地运用向量的三角形法则、平行四边形法则及向量的数乘运算.【变式训练2】 在平行六面体$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$中,$\overrightarrow{A B}=\mathbf{a}$,
$\overrightarrow{A D}=\mathbf{b}, \overrightarrow{A A^{\prime}}=\mathbf{c}, P$是$C A^{\prime}$的中点,M是$C D^{\prime}$的中点,N是$C^{\prime} D^{\prime}$的中点,点Q是$C A^{\prime}$上的点,且$C Q : O A^{\prime}=4 : 1$,用基底$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$表示以下向量:
$(1) \overrightarrow{A P} ; \quad(2) \overrightarrow{A M} ; \quad(3) \overrightarrow{A N} ; \quad(4) \overrightarrow{A Q}$.
求向量的坐标
【例3】 如图,在四棱锥$P-ABCD$中,底面$ABCD$是直角梯形,
$\angle B A D=90^{\circ}, A D / / B C, A B=B C=a ,\\ A D=2 a, P A \perp$
底面$ABCD$,$\angle P D A=30^{\circ}, A E \perp P D$.试建立适当的空间直角坐标系并求出图中各点的坐标.
分析:由题意知,$A P, A B, A D$两两垂直,故以$A$为坐标原点,$AB,AD,AP$所在直线分别为$xv轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系.
反思
建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的把直角边放在坐标轴上.【变式训练3】 在棱长为$1$的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,E,F分别是$B B_{1}, D_{1} B_{1}$的中点,建立适当的空间直角坐标系,求$E, F$两点的坐标.
