高中数学网用向量方法求空间中的角
2.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问题.
3.了解向量方法在研究几何问题中的作用.
空间中的角的向量求法
设直线l,m的方向向量分别为$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,平面$\alpha, \beta$的法向量分别为u,v$\mathbf{u}, \mathbf{v}$,则
(1)两条直线$l, m$的夹角为$\theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$,
则$\cos \theta=|\cos <\mathbf{a},b>|=\frac{|a \cdot b|}{|a||b|}$;
(2)直线l与平面α所成的角为$\theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$,
则$\sin \theta=|\cos <\mathbf{a},u>|=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$;
(3)二面角$\alpha-l-\beta$的大小为$\theta(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$,
则$\cos \theta=\pm|\cos |<\mathbf{u},v>|=\pm \frac{|u \cdot v|}{|u||v|}$.
【做一做1】 设直线l的方向向量为$\mathbf{a}$,平面$\alpha$的法向量为$\mathbf{u}$,若直线$l$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$,则有( )
A.cos $\theta=\frac{a \cdot u}{|a||u|} \quad \mathrm{B} \cdot \cos \theta=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$
$\mathrm{C} . \sin \theta=\frac{a \cdot u}{|a||u|}$ $\mathrm{D} . \sin \theta=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$
解析:由线面角$\theta$的正弦值知$\sin \theta=|\cos <\mathbf{a},>|=\frac{|a \cdot u|}{|a| u |}$.
答案:D
【做一做2】 若异面直线$l_{1}$的方向向量与$l_{2}$的方向向量的夹角为$150^{\circ}$,则$l_{1}$与$l_{2}$所成的角等于( )
$A .30^{\circ} \quad$ B. $150^{\circ}$
$\mathrm{C.} 30^{\circ}$或$150^{\circ}$ D.以上均错
解析:由异面直线夹角定义知,异面直线夹角范围是$\left(0,90^{\circ}\right]$.
答案:$\mathbf{A}$
1.两条异面直线所成的角
剖析:(1)定义:设$a, b$是两条异面直线,过空间任一点$O$作直线$a^{\prime} / / a, b^{\prime} / / b$,则$a^{\prime}$与$b^{\prime}$所夹的锐角或直角叫做$a$与$b$所成的角.
(2)范围:两条异面直线所成的角$\theta$的取值范围是$0<\theta \leqslant \frac{\pi}{2}$"当"$\theta=\frac{\pi}{2}$"时,表示两条直线异面垂直" ).
(3)向量求法:设两条异面直线$a$与$b$的夹角为$\theta$,直线$a,b$的方向向量分别为$\mathbf{a}, \mathbf{b}$,且其夹角为$\theta$,则有$\cos \theta=|\cos \varphi|=\frac{|a \cdot b|}{|a||b|}$.
2.直线与平面所成的角
剖析:(1)定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.
(2)范围:直线和平面所成的角$\theta$的取值范围是$0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}($当$\theta=0$时,表示直线与平面平行或在平面内,当$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时,表示直线与平面垂直$)$.
(3)向量求法:设直线l的方向向量为$\mathbf{a}$,平面的法向量为$\mathbf{u}$,直线与平面所成的角为$\theta, \mathbf{a}$与$\mathbf{u}$的夹角为$\varphi$,则有$\sin \theta=|\cos \varphi|=\frac{|a \cdot u|}{|a||u|}$或$\cos \theta=\sin \varphi$.
3.二面角
剖析:(1)二面角的取值范围是$[0, \pi]$.
(2)用向量求二面角的平面角有两种方法:
①几何法:若AB,CD分别在二面角$\alpha-l-\beta$的两个半平面内,且是与棱$l$垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量$\overrightarrow{A B}$与($\overrightarrow{C D}$的夹角(或其补角)(如图①).(如图①).
②向量法:设$\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}$是二面角$\alpha-l-\beta$的两个半平面$\alpha, \beta$的法向量,则向量$\mathbf{n}_{1}$与$\mathbf{n}_{2}$的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②).
求异面直线所成的角
【例1】 在长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,已知$D A=D C=4, D D_{1}=3$,求异面直线$A_{1} B$与$B_{1} C$所成角的余弦值.
反思
建立空间直角坐标系,要充分利用题目中的垂直关系.利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便,但是要注意角的范围.【变式训练1】 如图所示,在三棱柱$O A B-O_{1} A_{1} B_{1}$中,平面$O B B_{1} O_{1} \perp$平面$O A B, \angle O_{1} O B=60^{\circ} \quad, \angle A O B=90^{\circ}$,且$O B=O O_{1}=2, O A=\sqrt{3}$,求异面直线$A 1 B$与$A O 1$所成角的余弦值.
求直线与平面所成的角
【例2】 在棱长为1的正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,在侧棱$C C_{1}$上求一点$P$,使得直线$A P$与平面$B D D_{1} B_{1}$所成的角的正切值为3$\sqrt{2}$ .
反思
要充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,用向量的有关知识求解线面角.求线面角的基本方法:在斜线$l$上取$\overrightarrow{A B}$,先求平面$\alpha$的法向量$\mathbf{U}$,再求$\cos \theta=\frac{|A B \cdot u|}{|\overrightarrow{A B}||u|}(\theta$"为"$l$"与" $u$"所在直线的夹角,"$0<\theta<\frac{\pi}{2} )$,则直线$l$与平面$\alpha$的夹角$\beta=\frac{\pi}{2}-\theta$.【变式训练2】 在四棱锥$P-A B C D$中,底面ABCD是正方形,$P D \perp$平面$A B C D, P D=D C, E$是$PC$的中点,求$EB$与平面$ABCD$夹角的余弦值.
求二面角
【例3】 如图,四棱锥$P-ABCD$的底面$ABCD$是菱形,$P A \perp$平面ABCD,$A B C D, \angle A B C=60^{\circ}, E, F$分别是$B C, P C$的中点.
(1)求证:$A E \perp P D$;
(2)若$P A=A B=2$,求二面角$E-A F-C$的余弦值.
反思
用几何法求二面角,往往需要作出其平面角,这是几何中的难点之一;而用向量法求解二面角无须作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可.【变式训练3】 如图,在三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$A A_{1} C_{1} C$是边长为4的正方形,平面ABC$A B C \perp$平面$A A_{1} C_{1} C, A B=3, B C=5$.
(1)求证:$A A_{1}$⊥平面$A B C$;
(2)求二面角$A_{1}-B C_{1}-B_{1}$的余弦值;
(3)在线段$B C_{1}$上存在点$D$,使得$A D \perp A_{1} B$,并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$的值.
易错辨析
易错点 误求了线面角的余角致错
【例4】 在直三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$\angle A C B=90^{\circ} A C=2 B C$,
$A_{1} B \perp B_{1} C$,求$B_{1} C$与侧面$A_{1} A B B_{1}$所成角的余弦值.
