抛物线及其标准方程
2.会求简单的抛物线方程.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点$F$和一条定直线$l(l$不经过点$F$)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点$F$叫做抛物线的焦点,直线$l$叫做抛物线的准线.
归纳总结
抛物线的定义可归结为“一动三定”:一个动点,设为$M$;一个定点$F$,为抛物线的焦点;一条定直线$l$,为抛物线的准线;一个定值,即点$M$到定点$F$的距离与它到定直线$l$的距离之比为定值$1$.另外,定点$F$不在定直线$l$上,否则,动点$M$的轨迹不是抛物线,而是过点$F$且与直线$l$垂直的一条直线.【做一做1】 若动点$P$到定点$F(-4,0)$的距离与到直线$x=4$的距离相等,则点$P$的轨迹是( )
A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线
解析:由抛物线的定义可知点$P$的轨迹为抛物线.
答案:A
2.抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
$y^{2}=2 p x(p>0)$
$\left(\frac{\mathrm{p}}{2}, 0\right)$
$x=-\frac{\mathrm{p}}{2}$
$y^{2}=-2 p x(p>0)$
$\left(-\frac{\mathrm{p}}{2}, 0\right)$
$x=\frac{p}{2}$
$x^{2}=2 p y(p>0)$
$\left(0, \frac{\mathrm{p}}{2}\right)$
$y=-\frac{\mathrm{p}}{2}$
$x^{2}=-2 p y(p>0)$
$\left(0,-\frac{\mathrm{p}}{2}\right)$
$y=\frac{p}{2}$
名师点拨四种位置的抛物线标准方程的对比:
(1)共同点:
①抛物线顶点为原点;
②焦点在坐标轴上;
③焦点的非零坐标都是一次项系数的$\frac{1}{4}$.
(2)不同点:
①焦点在x轴上时,方程的右端为$\pm 2 p x$,左端为$y^{2}$;焦点在y轴上时,方程的右端为$\pm 2 p x$,左端为$x^{2}$;
②开口方向与$x$轴(或$y$轴)的正半轴相同,焦点在$x$轴(或$y$轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口方向与$x$轴(或$y$轴)的负半轴相同,焦点在$x$轴(或$y$轴)的负半轴上,方程右端取负号.
【做一做2-1】 抛物线$y=2 x^{2}$的准线方程为( )
$\mathrm{A} \cdot y=-\frac{1}{8} \mathrm{B} \cdot y=-\frac{1}{4}$
$\mathrm{C} \cdot y=-\frac{1}{2} \mathrm{D} \cdot y=-1$
解析:∵抛物线的标准方程为$x^{2}=\frac{1}{2} y$,
$\therefore$准线方程为$y=-\frac{1}{8}$.
答案:A
【做一做2-2】 以$F\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$为焦点的抛物线的标准方程是______________.
解析:$\because$焦点$F\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$在x轴的负半轴上,
$\therefore \frac{p}{2}=\frac{3}{4} \therefore 2 p=3 \dots y^{2}=-3 x$.
答案:$y^{2}=-3 x$
二次函数与抛物线的标准方程的关系
剖析二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线,而抛物线开口向右或向左时不是二次函数的图象.二次函数$y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$图象的顶点为$\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$,对称轴为$x=-\frac{b}{2 a}$,它是由$y=a x^{2}(a \neq 0)$平移得到的;而$y=a x^{2}(a \neq 0)$可化为$x^{2}=\frac{1}{d} y$,当$a>0$时,其函数图象的开口向上,顶点为$(0,0)$,焦点为$\left(0, \frac{1}{4 a}\right)$,对称轴为y轴;当$a < 0$时,其函数图象的开口向下,顶点为$(0,0)$,焦点为$\left(0, \frac{1}{4 a}\right)$,对称轴为$y$轴.由此可见,二次函数$y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$的图象可由开口向上或向下的标准形式的抛物线通过平移得到.
求抛物线的标准方程
【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点$(-3,2)$;
(2)焦点在直线$x-2 y-4=0$上;
(3)焦点到准线的距离为$\frac{5}{2}$.
分析:对于(1),需要确定p的值和开口方向两个条件,因为点$(-3,2)$在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为$y^{2}=-2 p x(p>0)$或$x^{2}=2 p y(p>0)$;对于(2),因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上,所以求出直线$x-2 y-4=0$与坐标轴的两个交点$(4,0)$和$(0,-2)$,即为所求抛物线两种情况下的焦点;而对于(3),由题意知$p=\frac{5}{2}$,下一步需要讨论抛物线的开口方向..
【变式训练1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)准线方程为$2 y+4=0$;
(2)过点$(3,-4)$;
(3)焦点在直线$x+3 y+15=0$上.
抛物线的定义及标准方程的应用
【例2】 平面上动点$P$到定点$F(1,0)$的距离比到$y$轴的距离大$1$,求动点$P$的轨迹方程.
分析一:设点P的坐标为$(x,y)$,则有$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=|x|+1$,化简即得动点P的轨迹方程,此解法用了求谁设谁的思路,即直接法.
分析二:结合题意动点$P$到定点$F(1,0)$的距离比到y轴的距离大$1$,由于点$F(1,0)$到$y$的距离为1,因此分情况讨论:
当$x < 0$时,直线$y=0(x < 0)$上的点适合条件;
当$x≥0$时,可以看作是点$P$到点$F(1,0)$与到直线$x=-1$的距离相等,故点$P$在以点$F$为焦点,$x=-1$为准线的抛物线上,其轨迹方程为$y^{2}=4 x(x \geqslant 0)$.
反思
求解曲线的轨迹方程的方法:(1)代数法:建立坐标系??设点??找限制条件??代入等量关系??化简整理;
(2)几何法:利用曲线的定义确定曲线类型并求出待定系数.
【变式训练2】已知抛物线的焦点$F$在$x$轴上,直线$y=-3$与抛物线相交于点$A,|A F|=5$,求抛物线的标准方程.