双曲线的简单几何性质
2.能解决一些简单的双曲线问题.
3.能区别椭fun88网上娱乐网上娱乐与双曲线的性质.
1.双曲线的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \\ =1(a>0, b>0)$
$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} \\ =1(a>0, b>0)$
范围
$x \leqslant-a$或$x \geq a$
$y \leqslant-a$或$y \geqslant a$
顶点
$( \pm a, 0)$
$(0, \pm a)$
轴长
虚轴长$=2 b$,实轴长$=2 a$
焦点
$F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$
$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$
焦距
$\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c$
对称性
对称轴为x轴,y轴,对称中心为原点(0,0)
离心率
$e=\frac{c}{2}(e>1)$
渐近线
$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \pm \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}=0$
(或$y=\pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} x )$$\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}} \pm \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{b}}=0$
或$\mathrm{y}=\pm \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \mathrm{x} )$名师点拨离心率$e=\frac{c}{a}>1$,离心率越大,$\frac{b}{a}=\sqrt{e^{2}-1}$ 就越大,双曲线“张口”越大.
【做一做1-1】 中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A. $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$或$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{36}=1$
D. $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{36}=1$或$\frac{y^{2}}{100}-\frac{x^{2}}{36}=1$
答案:B
【做一做1-2】 双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的渐近线方程是 ( )
$\mathrm{A} \cdot y=\pm \frac{2}{3} x \mathrm{B} \cdot y=\pm \frac{4}{9} x$
$\mathrm{C} \cdot y=\pm \frac{3}{2} x \mathrm{D} \cdot y=\pm \frac{9}{4} x$
解析:令$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=0$,得$y=\pm \frac{3}{2} x$.
答案:C
【做一做1-3】 下列双曲线中离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$的是( )
A. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 \mathrm{B} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$
C. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{6}=1 \mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{10}=1$
解析:A中离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3} ; \mathrm{B}$中离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2} ; \mathrm{C}$中离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2} ; D$中离心率为$\frac{\sqrt{14}}{2}$.
答案:$B$
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为$y=\pm x$,离心率为$\sqrt{2}$,方程可表示为$x ^{2}-y ^{2}=\lambda(\lambda \neq 0)$.
【做一做2】 已知双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$是等轴双曲线,则n=___________.
解析:$\because$双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$是等轴双曲线,
$\therefore n=12-n, \dots n=6$.
答案:6
有共同渐近线的双曲线系方程
剖析:若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1(a>0, b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{\prime 2}}-\frac{y^{2}}{b^{\prime 2}}=\pm 1\left(a^{\prime}>0, b^{\prime}>0\right)$有相同的渐近线,即两条渐近线方程$\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0$与$\frac{x}{a^{\prime}} \pm \frac{y}{b^{\prime}}=0$分别重合,则必有$\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{1}{k}(k>0)$,故$a^{\prime}=k a, b^{\prime}=k b$.
反之,易求得双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$与$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$有
相同的渐近线$y=\pm \frac{b}{a} x$,故与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$有相同渐近线的双
曲线系方程为$\frac{x^{2}}{(k a)^{2}}-\frac{y^{2}}{(k b)^{2}}=\pm 1$.上述方程可简化为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\lambda(\lambda \neq 0)$求双曲线方程较为方便.
求双曲线的标准方程
【例1】 已知双曲线的渐近线方程为$2 x \pm 3 y=0$.
(1)若双曲线过点$P(\sqrt{6}, 2)$,求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线的焦距是2$\sqrt{13}$,求双曲线的标准方程.
反思
双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标准方程,利用条件列出独立的关于$a, b, c$的等式,解方程组求出待定系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数$\lambda$的关系式并确定$\lambda$,但应注意$\lambda$的符号与双曲线焦点位置的对应.【变式训练1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线方程:
(1)双曲线过点$(3,9 \sqrt{2})$,离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{3}$;
(2)过点$P(2,-1)$,渐近线方程是$y=\pm 3 x$.
求双曲线的简单几何性质
【例2】 如图,已知$F_{1}, F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点,过$F _{2}$作垂直于$x$轴的直线交双曲线于点$P$,且$\angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$,求双曲线的渐近线方程.
分析:由于$P F_{2} \perp x$轴,因而可先求得点$P$的纵坐标,即可知$\left|P F_{2}\right|$的值,再结合$\triangle P F_{1} F_{2}$为直角三角形及双曲线的定义,可求得$a,b$间的关系,就可求得渐近线的斜率.
反思
双曲线上一点$P$与两个焦点$F_{1}, F_{2}$连线形成的$\triangle P F_{1} F_{2}$是常遇到的一种图形,我们有时称之为“焦点三角形”,它往往把三角形的相关知识(如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)与双曲线的相关知识相结合构造不同的问题.【变式训练2】 设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的虚轴长为2,焦距为2$\sqrt{3}$,则双曲线的渐近线方程为( )
$\mathrm{A} \cdot y=\pm \sqrt{2} x \mathrm{B} \cdot y=\pm 2 x$
$\mathrm{C} \cdot y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} x \mathrm{D} \cdot y=\pm \frac{1}{2} x$
求双曲线的离心率
【例3】 求适合下列条件的双曲线的离心率:
(1)双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{2} x$;
(2)双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0 < a < b)$的半焦距为$c$,直线l过$(a, 0),(0, b)$两点,且原点到直线$l$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4} c$.
反思
求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到$a, b, c$的关系式,再根据$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,直接求a,c的值.而在解题时常把 $\frac{c}{a}$ 或 $\frac{b}{a}$ 视为整体,把关系式转化为关于$\frac{c}{a}$或$\frac{b}{a}$的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.在本题的(2)中,要注意条件$0 < a < b$对离心率的限制,以保证结果的准确性.【变式训练3】 已知点P为双曲线$C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$和fun88网上娱乐网上娱乐$C_{2} : x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$的一个交点,且$2 \angle P F_{1} F_{2}=\angle P F_{2} F_{1}$,其中$F_{1}, F_{2}$为双曲线$C_{1}$的两个焦点,则双曲线$C_{1}$的离心率为( )
$\begin{array}{llll}{\text { A. } \sqrt{3}} & {\text { B. } 1+\sqrt{2}} & {\text { C. } \sqrt{3}+1} & {\text { D. } 2}\end{array}$
易错辨析
易错点 忽视斜率的多种情况而致错
【例4】 求经过点$\left(\frac{1}{2}, 2\right)$且与双曲线$4 x 2-y 2=1$仅有一个公共点的直线方程.