椭fun88网上娱乐网上娱乐的简单几何性质
2.会根据椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程画出它的几何图形,并能根据几何性质解决一些简单问题.
3.理解直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系.
椭fun88网上娱乐网上娱乐的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
$\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
$\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{b}^{2}}=1 \\ (a>b>0)$
范围
-$a \leqslant x \leqslant a-b \leq y \leqslant b$
$-b \leq x \leq b$
顶点
$A_{1}(-a, 0)=A_{2}(a, 0)$
$B_{1}(-b, 0), B_{2}(b, 0)$
$A_{1}(0,-a), A_{2}(0, a)$
$B_{1}(-b, 0), B_{2}(b, 0)$
轴长
长轴长 = $\left|A_{1} A_{2}\right|$ ,短轴长 =$\left|B_{1} B_{2}\right|$
焦点
$F_{1}(-C, 0), F_{2}(c, 0)$
$F_{1}(0,-c), F_{2}(0, c)$
焦距
2$c$
对称性
对称轴:坐标轴,对称中心:原点$(0,0)$
离心率
$e=\frac{c}{a}(0 < e < 1)$
【做一做1】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+m y^{2}=1$的焦点在$y$轴上,长轴长是短轴长的2倍,则$m$的值为( )
A. $\frac{1}{2} \mathrm{B} .2 \mathrm{C} \cdot \frac{1}{4} \mathrm{D} .4$
解析:椭fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+m y^{2}=1$的标准形式为$x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{m}}=1$.
$\because $焦点在$y$轴上,且长轴长是短轴长的2倍,$\therefore \frac{1}{m}=4, \therefore m=\frac{1}{4}$.
答案:C
【做一做2】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$x^{2}+4 y^{2}=1$的离心率为( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{B} \cdot \frac{3}{4} \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{D} \cdot \frac{2}{3}$
解析:化为标准形式$x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}=1$,
则$a^{2}=1, b^{2}=\frac{1}{4}, c^{2}=\frac{3}{4}$,故$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
答案:$A$
【做一做3】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程为$2 x^{2}+3 y^{2}=m(m>0)$,则此椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率为( )
A. $\frac{1}{3} \mathrm{B} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{C} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{D} \cdot \frac{1}{2}$
解析:化为标准方程$\frac{x^{2}}{\frac{m}{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{m}{3}}=1(m>0)$
$\because a^{2}=\frac{m}{2}, b ^{2}=\frac{m}{3}, \\ \therefore c ^{2}=\frac{m}{6} \ldots \frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3}, \therefore e=\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案:B
【做一做4】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$16 x^{2}+9 y^{2}=144$的焦点坐标是_________,顶点坐标是_________.
答案:$(0, \pm \sqrt{7}) \quad(3,0),(-3,0),(0,4),(0,-4)$
1.椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率
剖析:椭fun88网上娱乐网上娱乐的焦距与长轴长的比,称作椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率.记作$e=\frac{2 c}{2 a}=\frac{c}{a}$.由$a>c>0$,知$0 < e < 1$.
$e$越接近$1,c$越接近$a$,从而$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}$ 越小,因此椭fun88网上娱乐网上娱乐越扁;反之$e$越接近于$0,c$就越接近于0,从而$b$越接近于$a$,这时椭fun88网上娱乐网上娱乐就越接近于fun88网上娱乐网上娱乐;当且仅当$a=b$时,$c=0$,这时椭fun88网上娱乐网上娱乐的两个焦点重合,图形变成fun88网上娱乐网上娱乐,方程为$x^{2}+y^{2}=a^{2}$.
2.直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系
剖析:(1)直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐有三种位置关系:
①相交??直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐有两个不同的公共点;
②相切??直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐有且只有一个公共点;
③相离??直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐没有公共点.
(2)直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系的判断:
我们把直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系问题转化为直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的公共点问题,而直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的公共点问题,又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题,而它们的方程所组成的方程组的解的问题又可以转化为一元二次方程解的问题,一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断,因此,直线和椭fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系,可由相应的一元二次方程的判别式来判断.判断方法:将直线方程和椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若$\Delta>0$,则直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐相交;若$\Delta=0$,则直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐相切;若$\Delta < 0$,则直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐相离.
3.弦长公式
剖析:设直线方程为$y=k x+m(k \in \mathbf{R}$,且$k \neq 0 )$,椭fun88网上娱乐网上娱乐方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$或$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的两个交点为$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,
则$|A B|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
$\begin{aligned}= \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(k x_{1}+m-k x_{2}-m\right)^{2}} \\ =\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2} \cdot\left(1+k^{2}\right)} \\ =\sqrt{1+k^{2}} \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right| \\= \sqrt{1+k^{2}} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}} \end{aligned}$
或者
$|A B|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
$\begin{aligned} =\sqrt{\left(\frac{y_{1}-m}{k}-\frac{y_{2}-m}{k}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \\ =\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}} \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right| \\ = \sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}} \cdot \sqrt{\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}} \end{aligned}$
当$k=0$时,直线平行于x轴,
所以$|A B|=\left|x_{1}-x_{2}\right|$.
知识拓展
由弦长公式可知,求弦长时可以不求出交点坐标,只需先将方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程,再根据一元二次方程根与系数的关系求出$x_{1}+x_{2}, x_{1} x_{2}($或$y_{1}+y_{2}, y_{1} y_{2} )$,代入弦长公式即可.
由方程求椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质
【例1】 求椭fun88网上娱乐网上娱乐$25 x^{2}+y^{2}=25$的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标.
分析:本题可先把椭fun88网上娱乐网上娱乐方程化成标准方程,再确定$a,b,c$的值,从而求得椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质.
反思
已知椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程讨论其几何性质时,应先把椭fun88网上娱乐网上娱乐的方程化成标准形式,找准$a$与$b$,然后正确地写出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,应注意焦点所在的坐标轴.【变式训练1】 椭fun88网上娱乐网上娱乐$6 x^{2}+y^{2}=6$的长轴端点坐标为( )
$\begin{array}{ll}{\text { A. }(-1,0),(1,0)} & {\text { B. }(-6,0),(6,0)} \\ {\text { C. }(-\sqrt{6}, 0),(\sqrt{6}, 0)} & {\text { D. }(0,-\sqrt{6}),(0, \sqrt{6})}\end{array}$
利用椭fun88网上娱乐网上娱乐的几何性质求标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程:
(1)长轴长是6,离心率是 $\frac{2}{3}$;
(2)焦点在$x$轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,焦距为6.
分析:因为要求的是椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,所以可以先设出椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,再利用待定系数法求参数$a,b,c$.
反思
利用性质求椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程,通常采用待定系数法,而其关键是根据已知条件去构造关于参数的方程(组),利用解方程(组)求得参数.【变式训练2】 写出满足下列条件的椭fun88网上娱乐网上娱乐的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且经过点$(2,-4)$;
(2)离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,经过点$(2,0)$.
求椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率
【例3】 如图所示,椭fun88网上娱乐网上娱乐的中心在原点,焦点$F_{1}, F_{2}$在x轴上,$A, B$是椭fun88网上娱乐网上娱乐的顶点,$P$是椭fun88网上娱乐网上娱乐上一点,且$P F_{1} \perp x$轴,$P F_{2} / / A B$,求此椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率.
反思
求椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率的常见思路:一是先求$a,c$,再计算$e$;二是依据条件中的关系,结合有关知识和$a,b,c$的关系,先构造关于$e$的方程(组),再求解.注意e的取值范围:$0 < e < 1$.【变式训练3】 若椭fun88网上娱乐网上娱乐 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、
右焦点分别为$F _{1}, F _{2}$,线段$F _{1} F_{2}$被点$\left(\frac{b}{2}, 0\right)$分成$5 : 3$的两段,
则此椭fun88网上娱乐网上娱乐的离心率为( )
A. $\frac{16}{17} \mathrm{B} \cdot \frac{4 \sqrt{17}}{17} \mathrm{C} \cdot \frac{4}{5} \mathrm{D} \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{5}$
直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐的位置关系
【例4】 已知中心在坐标原点O的椭fun88网上娱乐网上娱乐C经过点$A(2,3)$,且点$F(2,0)$为其右焦点.
(1)求椭fun88网上娱乐网上娱乐$C$的方程;
(2)是否存在平行于$O A$的直线l,使得直线$l$与椭fun88网上娱乐网上娱乐$C$有公共点,且直线$OA$与$l$的距离等于4?若存在,求出直线$l$的方程;若不存在,说明理由.
反思
直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐之间有相交、相切、相离三种位置关系,即直线与椭fun88网上娱乐网上娱乐有两个不同的公共点、唯一一个公共点、没有公共点.相应地,直线方程与椭fun88网上娱乐网上娱乐方程联立组成的方程组有两组解、一组解、无解,消元后的一元二次方程对应的有$\Delta>0, \quad \Delta=0, \quad \Delta < 0$三种情况.【变式训练4】 已知椭fun88网上娱乐网上娱乐$4 x^{2}+y^{2}=1$及直线$y=x+m$.
(1)当直线和椭fun88网上娱乐网上娱乐有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭fun88网上娱乐网上娱乐截得的最长弦所在的直线方程.
易错辨析
易错点 忽视焦点位置的不确定性致错
【例5】 若椭fun88网上娱乐网上娱乐$\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率$e=\frac{1}{2}$,则$k$的值为______.