变化率问题--导数的概念

时间:2019/9/9 19:05:02   作者:数学名师王老师
1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
知识点
  • 1.函数的变化率

     

    定义

    作用

    平均

    变化率

    函数$y=f(x)$从$x_{1}$
    到$x_{2}$的平均变化率$\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$

    习惯上用Δx表示x2-x1,
    Δy表示f(x2)-f(x1),则平
    均变化率可表示为 Δy/Δx


    刻画函数$y=f(x)$在区间$\left[x_{1}, x_{2}\right]$上变化的快慢

    瞬时

    变化率

    函数$y=f(x)$在$x=x_{0}$
    处的瞬时变化率是函数
    $y=f(x)$从$x_{0}$到$x_{0}+\Delta x$
    的平均变化率在$\Delta x \rightarrow 0$
    时的极限,$\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}+\Delta \mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)}{\Delta \mathrm{x}} \\ =\lim _{\Delta \mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{y}}{\Delta \mathrm{x}}$

    刻画函数$y=f(x)$在$x=x_{0}$附近变化的快慢

    名师点拨

    关于平均变化率应注意以下几点:

    (1)$x_{1}, x_{2}$是定义域内不同的两点,因此$\Delta x \neq 0$,但$\Delta x$可正也可负;$\Delta y=f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$是相应函数值的改变量,$\Delta y$的值可正可负,也可为零.因此,平均变化率可正可负,也可为零.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢,平均变化率的绝对值越大(小),函数在给定区间上的变化越快(慢).

    (2)在求函数的平均变化率时,当$x_{1}$取定值,$\Delta x$取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当$\Delta x$取定值后,$x_{1}$取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.

    (3)平均变化率的几何意义:观察函数$y=f(x)$的图象(如图),我们可以发现$x_{2}-x_{1}=|A C|_{2} f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=|B C|$,所以平均变化率 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$表示的是直线$AB$的斜率.

    blob.png

    【做一做1-1】 设函数$y=f(x)$,当自变量x由$x_{0}$改变到$x_{0}+\Delta x$时,函数值的改变量$\Delta y$为(  )

    $\mathrm{A} . f\left(x_{0}+\Delta x\right)$ $\mathrm{B} \cdot f\left(x_{0}\right)+\Delta x$

    $\mathrm{C}_{\cdot} f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$ $\mathrm{D} . f\left(x_{0}\right) \Delta x$

    【做一做1-2】 若某质点的运动方程是$s=4-2 t^{2}$,则它在时间段$[1,1+\Delta t]$内的平均速度为(  )

    $\begin{array}{ll}{\mathrm{A} .2 \Delta t+4} & {\mathrm{B} \cdot-2 \Delta t+4} \\ {\mathrm{C.} 2 \Delta t-4} & {\mathrm{D} .-2 \Delta t-4}\end{array}$

  • 2.导数的概念

    一般地,函数$y=f(x)$在$x=x_{0}$处的瞬时变化率是 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$,我们称它为函数$y=f(x)$在$x=x 0$处的导数,记作$f^{\prime}(x 0)$或$\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}$,即$f^{\prime}(x 0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$.

    名师点拨

    关于导数应注意以下几点:

    (1)$\Delta x \rightarrow 0$是指$\Delta x$从0的左右两侧分别趋向于0,但永远不会为0.

    (2)若$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$存在,则称$f(x)$在$x=x_{0}$处可导.

    (3)令$x=x_{0}+\Delta x$,得$\Delta x=x-x_{0}$,于是$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$与概念中$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$的意义相同.

    【做一做2】 若函数$y=f(x)$在$x=x_{0}$附近有定义,且有$f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=a \Delta x+b(\Delta x)^{2}$($a, b$为常数),则$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=$________. 

    解析:$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a \Delta x+b(\Delta x)^{2}}{\Delta x}$

    $=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(a+b \Delta x)=a$

重难点
  • 1.如何理解瞬时变化率?

    剖析:瞬时变化率的实质是平均变化率在自变量的改变量趋近于0时的值,其作用是刻画函数在$x=x_{0}$处变化的快慢.

  • 2.如何理解导数的概念?

    剖析:导数是研究在$x=x_{0}$及其附近函数值的改变量$\Delta y$与自变量的改变量$\Delta x$之比的极限,它是一个局部性的概念,即若$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$存在,它表示一个定数,则函数$f(x)$在$x=x_{0}$处的导数应是一个定数.当对$\frac{\Delta y}{\Delta x}$取极限时,一定要把$\frac{\Delta y}{\Delta x}$变形到当$\Delta x \rightarrow 0$时,分母是一个非零常数的形式.

例题解析
  • 平均变化率的求法

    【例1】 求$y=f(x)=2 x^{2}+1$在区间$\left[x_{0}, x_{0}+\Delta x\right]$上的平均变化率,并求当$x_{0}=1, \Delta x=\frac{1}{2}$时平均变化率的值.

    分析:解答本题要紧扣平均变化率的定义,先求自变量的改变量,再求函数值的改变量,然后代入公式求解.

    反思

    求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的改变量$\Delta x$与函数值的改变量$\Delta y$,求平均变化率的主要步骤是:

    blob.png

    【变式训练1】 已知函数$y=f(x)=2 x^{2}+3 x-5$.

    (1)求当$x_{1}=4$,且$\Delta x=1$时,函数值的改变量$\Delta y$和平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$;

    (2)求当$x_{1}=4$,且$\Delta x=0.1$时,函数值的改变量$\Delta y$和平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

    【例2】 求函数$y=f(x)=x-\frac{1}{x}$在$x=1$处的导数.

    分析:解答本题要紧扣导数的定义,函数$f(x)=x-\frac{1}{x}$在$x=1$处的导数就是$f(x)=x-\frac{1}{x}$在$x=1$处的瞬时变化率.

    反思由导数的定义,我们可以得到求函数$y=f(x)$)在点$x_{0}$处的导数的方法:

    (1)求函数值的改变量$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$;

    (2)求平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$;

    (3)取极限,得导数$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x} \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

    【变式训练2】 求函数$y=\frac{4}{x^{2}}$在$x=2$处的导数.

  • 函数变化率的应用

    【例3】 已知某物体运动的方程如下:(其中位移$s$的单位是$m$,时间$t$的单位是$s$)

    $s=f(t)=\left\{\begin{array}{l}{3 t^{2}+2, t \geq 3} \\ {29+3(t-3)^{2}, 0 \leq t < 3}\end{array}\right.$

    求:(1)物体在$[3,5]$这段时间内的平均速度;

    (2)物体的初速度$v_{0}$;

    (3)物体在$t=1$时的瞬时速度.

    分析解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式,再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平

    反思求物体的初速度,即求物体在$t=0$时的瞬时速度,很容易误认为$v_{0}=0$,有些函数解析式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动.

    【变式训练3】 若以初速度$v_{0}\left(v_{0}>0\right)$垂直上抛的物体在ts时的高度为$s=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}$,则物体在时刻$t_{0}$处的瞬时速度为_________. 

声明:本站部分内容搜集整理自互联网,如果涉及侵犯您的版权,请联系我们举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内回复您,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。